sin cos を tanに代入した展開式を教えてください

主にルート計算の質問です。
三角関数 θ =30 , 45 , 60 度　の時の、sin cos それぞれの値を公式 1 + tan^2= 1 / cos2^2 の形に置き換えて展開した時のルートを含む計算をどなたか教えていただけないでしょうか。
左 = 右 になる筈と思ったのですルートの扱いがいまいち苦手でたどり着けません。
よろしくおねがいします。

質問者からの補足コメント

• 大変わかりにくい質問で申し訳ない _(_ _)_
  説明追加します。
  
  
  三角関数の公式
  
  tanθ = sinθ / cosθ
  
  ここに例として30度の値を代入すると
  
  1/√3 = (1/2) / (√3/2)
  
  右辺は２が自動的に消えるてイコール左辺になりますよね。
  
  なの公式 1 + tan^2 = 1 / cos^2
  
  にも値を代入すればイコールになるのかと思ったらそもそもルートの扱いが不明瞭なので計算ができなかったのです。
  
  成り立つのという前提から三角関数を引っ張ってきましたが、用はルートの計算の方法がメインでして、
  両辺イコールに成り立つまでの経緯をわかり易く説明していただけたらな～という次第です……伝わりますでしょうか。

    補足日時：2016/07/18 12:56

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/18 13:27

No.2&3です。

「補足」に書かれたことについて。

1 + tan^2(θ) = 1 / cos^2(θ)　　（１）

で θ = 30°のとき

tan(30°) = 1/√3
cos(30°) = √3/2
なので、

1 + tan^2(30°) = 1 + (1/√3)^2 = 1 + 1/3 = 4/3
1 / cos^2(30°) = 1/(√3/2)^2 = 1/(3/4) = 4/3

で、（１）式の左辺=右辺　になりますよね？

θ = 45°のときなら
tan(45°) = 1
cos(45°) = 1/√2
なので、

1 + tan^2(45°) = 1 + 1^2 = 1 + 1 = 2
1 / cos^2(45°) = 1/(1/√2)^2 = 1/(1/2) = 2

で、これまた（１）式の左辺=右辺　になりますよね？

そういうことではないのですか？

この回答へのお礼

それです！
√が苦手 ＋ 二重割り算で思考停止してたみたいです ^^；
ありがとうございました！

お礼日時：2016/07/18 14:04

No.5 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/07/18 13:39

>>ルートの扱いが不明瞭？？？

二乗するんだから、(√a)²=a、(√3)²=3

30°だとすると
左辺=1+tan²30°
= 1+(1/√3)²=1+{1² / (√3)²}=1+ 1/3 = 4/3

右辺=1/cos²30°
= 1 / {(√3)/2}²=1/ {(√3)²/2²}=1/ (3/4) = 4/3

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
√どころか割り算にも躓いてたようです^^；
理解できました、ありがとうございます。

お礼日時：2016/07/18 13:58

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/18 12:07

No.2 です。

失礼、質問文をコピペしたら変なことになっていました。

＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
1 + tan^2(θ)= 1 / cos^2(θ)
の両辺に cos^2(θ) をかければ
　sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1
で当たり前の式です。
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊

ですね。

これとは違うことをおっしゃりたいのでしょうか？

No.2 回答者： yhr2 回答日時： 2016/07/18 12:03

＞sin cos それぞれの値を公式 1 + tan^2= 1 / cos2^2 の形に置き換えて展開した時のルートを含む計算

意味不明です。
1 + tan^2(θ)= 1 / cos2^2(θ)
の両辺に cos2^2(θ) をかければ
　sin^2(θ) + cos2^2(θ) = 1
で当たり前の式です。

三角関数 θ =30 , 45 , 60 度の時など、ほとんど「定数」で覚えているのでは？

何を計算したいということなのですか？

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
読み返してミスに気づきました、"置き換えて"、ではなく"代入して"、なら通じたかな。
公式に成立する値を入れて左辺=右辺になるか試してみたかったんです。
説明不十分申し訳ない、またよろしくお願いします。

お礼日時：2016/07/18 13:10

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2016/07/18 11:58

tanθ=sinθ/cosθ

sin²θ+cos²θ=1
上を使うと

1+tan²θ=1+(sinθ/cosθ)²=
cos²θ/cos²θ + sin²θ/cos²θ=
(cos²θ+sin²θ)/cos²θ=
1/cos²θ

この回答へのお礼

質問の出し方が悪かったようです、すみません^^；
回答ありがとうございました。

お礼日時：2016/07/18 14:02