y=a sin(x)の曲線の距離を求める式を教えて下さい。

A 回答 (2件)

遠い昔のことなんでもしかして、まちがってるかもしれませんが、


円弧ってことは?
x=2πなら、円周
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曲線 y=f(x) の x=c から x=d までの長さは


(1)  ∫(c~d) √{1 + (dy/dx)^2} dx
で表されます.今,
(2)  f(x) = a sin x
ですから
(3)  L = ∫(c~d) √{1 + a^2 cos^2 x} dx
ですね.
残念ながら,この積分は初等関数では表されません.
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Aベストアンサー

siegmund です.

taropoo さんご紹介の前のスレッド
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93498
でも書きました様に,y = a sin x の長さは
残念ながら初等関数では表現できません.

√{1 + a^2 cos^2 x} の類の積分は,一般に不完全楕円積分になります.
cos^2 x のところを sin^2 x を使った表現に書き直すと
(1)  √{1 + a^2 cos^2 x} = √(1+a^2) √{1 - k^2 sin^2 x}
(2)  k^2 = a^2/(1+a^2)
になりますから,第二種不完全楕円積分
(3)  E(φ,k) = ∫(0~φ) √{1-k^2 sin^2 θ} dθ
に帰着されます.
φ=π/2 としたのは完全楕円積分 E(k) と呼ばれています.

たとえ,φ=π/2 でも,残念ながら初等関数では表現できません.
楕円積分の数表は例えば岩波の数学公式集の付録にありますから,
それを参照すれば,任意のkについて(すなわち任意のaについて)
sin の長さが求められます.

a=1 ですと,k=0.5 で,E(0.5) = 1.3504 ですから
(4)  【0~π/2 の長さ】 = √(2)×1.3504 = 1.910
ですね.
0~πならこの2倍,0~2πならこの4倍です.

ちょこちょこっと急いでやったので,
どこかつまらないミスをしていなければいいのですが...

brogie さんの回答は途中で√がミスプリで落ちてしまいましたね.

> 線の微小長さdsは
> ds = √(dx^2 + dy^2)
> =√(1+cos^2(x))dx
>
> これを必要な範囲で積分すると
> s = ∫√(1+cos^2(x))dx (範囲:0~π)
> です。

と修正しないといけませんね.

siegmund です.

taropoo さんご紹介の前のスレッド
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=93498
でも書きました様に,y = a sin x の長さは
残念ながら初等関数では表現できません.

√{1 + a^2 cos^2 x} の類の積分は,一般に不完全楕円積分になります.
cos^2 x のところを sin^2 x を使った表現に書き直すと
(1)  √{1 + a^2 cos^2 x} = √(1+a^2) √{1 - k^2 sin^2 x}
(2)  k^2 = a^2/(1+a^2)
になりますから,第二種不完全楕円積分
(3)  E(φ,k) = ∫(0~φ) √{1-k^2 sin^2 θ} dθ
に帰...続きを読む

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y=f(x)
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