外部性のあるときの計算

外部性のあるときの計算問題について、解いてみたのですが、答えがなくあっているかわかりません。一部わからなかったところと間違っているところの考え方を教えていただけないでしょうか。

X財を生産する企業1とY財を生産する企業2のあいだには外部性がある。それぞれの費用関数は以下の通り。
C1=2x^2
C2=2y^2+xy
X,Y財の市場は寡占競争であり、X財の販売価格は80,Y財の販売価格は60である。

①　企業1は2に対して正と負、どちらの外部性を与えているか。
→X財の値段が上がると企業2のコスト増えるので負の外部性.

②　各企業の利益を最大にするX,Y財の生産量は？
→C1は値段×販売数で利潤となる80xから費用2x^2をひいたものをxで微分してx=20となりました。
しかし企業2についても同様に式を立ててからがどうしたらよいかがわからなくなりました。とりあえずそれぞれx,yで微分したのですが、y=80とでてxはおかしな数になってしまいます。

③　2つの企業が合併したときの利益を最大にするX,Y財の生産量を求めよ。

→160x+60y-2y^2-xy-2x^2が2つの企業をたしたときの利益だと考えました。しかしどうしたらよいかわからず…

④ピグー税を求めよ.

→ピグー税の意味はわかるのですが、それを具体的に計算するとなると全くわからない状態です。

⑤　交渉の結果、企業1が2を補償することになった。妥結点における企業1の生産量と補償額を求めよ。

→検討もつきません。検索したりしてみましたがよくわかりませんでした。

よろしくお願いします。

No.6 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/10 10:44

問⑤に進む前に、これまでのところで質問がないか尋ねたですが、あなたから反応がありませんが、理解したのでしょうか？とくに、負の外部性（外部不経済）について質問はないのでしょうか？

いま、外部経済不経済が発生しない状態は、企業１の生産活動がないとき、つまり、x=0のときですが、このとき企業２の最大利潤はｙ＝15単位生産したとき生じ、利潤（Π２と書こう）は
Π2 = 450
である。このとき企業１の生産x=0、よって利潤Π１=0である、ことはいうまでもない。
企業２にとってこの企業１が生産しない（x=0)ときが最適であろうか？企業１と２の利潤合計Π1+Π2＝Πが最大になるのは、No1の③で見たように、x= 52/3, y=32/3のときで、
Π=Π1+Π2 = 2912/9 + 2048/9 = 4960/9 ≒ 551.1
となる。企業２としては、補償を最低でも450 - 2048/9 = 2002/9 ≒222.4、最大2912/9≒323.6を得ようとするだろう。つまり、企業２の補償要求額をCと書くと、補償額Cが
　　2002/9 < C < 2912/9　　　　
に定まるならば、企業２にとっては企業１にx=0を要求するよりも得である。C＞2002/9ならば、補償を含む企業２の利潤は450よりも大きくなるからである。一方、企業１にとっては外部不経済を発生させないｘ＝０（このときΠ1=0)よりも、企業２への補償額が2912/9よりも小さいなら、補償支払い後の利潤はプラスなので得なのである。企業１から２への補償が2002/9と2912/9の間のいくらの値に決定されるかは企業１と２の交渉しだいなので、いえないが、ピグー税に頼らなくても企業１と企業２の間の交渉にまかせるなら、効率的な生産の組(x,y)=(52/3, 32/3)が実現する、したがて総余剰の最大化が実現する、ということである。これをコースの定理とよぶ。

No.5 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/09 17:57

この問題に関してはこれまでの回答に関してもう質問はないのでしょうか？

関連の質問（外部不経済の問題という意味で）がほかの人から出ているので、解いてみたらいかが？外部性について理解ができているかどうかテストするよい機会でしょう。

No.4 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/08 05:30

>1について、どうして直接なのかがわかりませんでした。

部品の例とどうちがうのでしょうか？

この質問を見逃していました。自動車産業の例を挙げるまでもなく、ほとんどの産業は他産業で作られた製品を部品とする加工産業です。（第２次産業、第３次産業ということばそこから来ているのでしょし、経済学の「産業連関分析」という分野は産業間の投入産出関係を分析する分野です。）あなたの質問に答えるために、簡単化のため、X財を加工して（つまり、X財を唯一の「部品」として）Y財を製造しているある競争企業 を考えましょう。この企業の生産技術は生産関数
ｙ = a√ｘ
によって表わされる。つまり、X財をｘ単位投入すると、Y財をｙ単位産出するこののような生産技術をこの企業は所持しているとします。ただし、aは定数。いま、Y財企業はX財の価格PXに直面しているとし、Y財企業の費用関数を求めなさい、という質問には何と答えます。答えは、この企業の費用関数（費用曲線）は
C = (PX/a^2)y^2　　　　　　　(*)
となる、ということです（こうなることを確かめよ！）
あなたの質問のX財企業(企業２）の費用関数
C2 = 2y^2 + xy　　　　　　　　(**)
と比べるとわかるように、「私の企業」の費用関数(*)にはX財企業の生産量ｘが入っていない！これが通常の、つまり「外部性」がないときの費用関数だ。「部品」の価格PXが上昇すれば、Y財を製造する企業の費用を押し上げ、したがって「私の企業」の最適生産に影響を与えるが、X財産業の生産活動が直接に「私の企業」の費用に影響を与えることはない、したがって、私の企業の最適生産には影響を与えることはないのです！「外部性」が存在しないとき、X財産業が「私の企業」を含むY財産業の生産活動に影響を与えるのはあくまでも「市場を通じて」、つまり市場のシグナルであるPXを通じて以外にはない。X財産業のイノベーションがあったり、X財産業の製品へ他産業から需要が拡大してPXが変化するなら、そのかぎりでY財を生産する「私の企業」を含むY財製造業の費用に影響を与え、X財産業の生産活動に影響を与えるのだ。

では、(**)が示しているように、企業１の生産が企業２の費用に「直接」はいってくると、「通常の」場合とどこが異なるのか？
回答No2の②のところで書いたように、企業１は自分の「最適な」生産ｘを決定するにあたって内部費用C1しか考えず、自分の行動が企業２の費用C2（外部費用）にまで影響を及ぼすということまでは考慮していない、ということです。内部費用と外部費用の合計を社会的費用と呼びますが、外部性がある環境のもとでは社会的費用は内部費用には一致しないので、内部費用しか考えていない「最適」生産は社会的には最適な生産ではないということです。外部性が存在するときは、「厚生経済学の第１命題」は成立しなくなるということです。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/07 12:51

>一つ思いついたのですが、費用関数からMCを求めてMC=4x+tから、P=MCをつかっでもt=3/32が求められたのですが、この考え方でも良いのでしょうか？

もちろんです。そもそも、P=MCという条件は利潤
Π(X)＝PX-C(X)
の最大化の一階の条件から得られたものです。ただし、Π(X)=利潤関数、P＝価格、X=生産量、C(X)=費用関数です。ΠをXで微分して０とおくと（利潤最大化の１階条件）、
0 = Π'(X) = P - C'(X) = P - MC(X)
つまり、
P = MC
となるからです。利潤＝収入ー費用から出発し、利潤最大化するか、途中下車（？）して価格＝限界費用からはじめるかは同じことで、好みの問題でしょう。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/07 06:23

>④ピグー税を求めよ.

→ピグー税の意味はわかるのですが、それを具体的に計算するとなると全くわからない状態です。

NO1でお願いした計算のチェックはやっていただけたのですか？そこに間違いがあると以下正しい結果は得られません。
自由放任のもとでは企業１の生産量はx=20ですが、社会的に望ましい生産量はｘ＝52/3と、（自由放任のもとでの）企業１の生産量は過大です。企業１の生産を社会的に望ましい水準まで引き下げる目的で課される（物品）税がピグー税です。いま、１単位当たりｔ（円)の物品税を企業１にかけると、この課税のもとで利潤最大化しようとする企業１の利潤は
80x - (2x^2 + tx)
これをｘで微分して０とおくと(利潤最大化の1階の条件）
80 = 4x + t
社会的に望ましいｘの生産量はx=52/3だから、この値を上の利潤最大化条件に代入すると
80 = 4×52/3 + t
t = 80 - (208/3) = 32/3
となる。つまり、１単位あたり32/3（円）の物品税（ピグー税）を企業１のX財の生産にかけると、企業１はx=52/3の社会的望ましい生産量を生産しようとするのだ。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
一つ思いついたのですが、費用関数からMCを求めてMC=4x+tから、P=MCをつかっでもt=3/32が求められたのですが、この考え方でも良いのでしょうか？

お礼日時：2016/08/07 12:07

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2016/08/06 22:00

①　企業1は2に対して正と負、どちらの外部性を与えているか。

→X財の値段が上がると企業2のコスト増えるので負の外部性.

⇒負の外部性であることは正しいが、X財の価格が上がると企業２のコストが増えるからではありません。そんなことをいうなら、多くの企業が他社あるいは他産業の製品を原材料とか部品とかいう形で使っています（自動車のような総合産業では鉄鋼はむろんのこと１万種類以上の部品を使っているといわれていますが、それらの原材料・部品の価格が上がれば、車の製造コストは当然上がるが、そのことを負の外部性とはいわない。）外部性とは、他企業あるいは他産業の生産活動が市場を通じてではなく、直接に当該企業あるいは産業の生産コストを引き上げることをいう。たとえば、川の上流に立地する企業が生産活動の結果として汚水を垂れ流しにし、そのため川の水を生産に用いている下流にある企業が汚水を浄化せざるを得ないため余分の費用がかかるとき、上流企業は負の外部性を発生させるというのです。問題の例では、企業２の生産コストC2は企業１の生産ｘが増えると、直接C2を押し上げているので、企業１は２に対して負の外部性を与えているのだ。

②しかし企業2についても同様に式を立ててからがどうしたらよいかがわからなくなりました。とりあえずそれぞれx,yで微分したのですが、y=80とでてxはおかしな数になってしまいます。
⇒
企業２の利潤＝60y - (2y^2 + xy)
企業２は自からの利潤を、x=20を所与として、ｙについて最大化するためｙについて（偏）微分して０とおくと

60 - (4y +20) = 0
よって
y = 10
を得る。これが企業２の利潤最大化生産量。

③企業１と２が合併し一つの企業になったときの利潤をΠと書くと

Π=80x + 60y - (2x^2 + 2y^2 + xy)

合併企業はΠをｘとｙについて最大化するための１階の条件は
０＝∂Π/∂x = ∂Π/∂y
よって
80 - 4x - y = 0
60 - 4y - x = 0
となる。これを解いて
x = 52/3
y = 32/3
となる。これが合併企業のX財とY財の生産量。これは社会的に望ましい生産量でもある。
ここまで計算間違いがあるかもしれないので確かめておいてください。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
1について、どうして直接なのかがわかりませんでした。部品の例とどうちがうのでしょうか？

3については自分でも計算してみて同じ値を得られました。

お礼日時：2016/08/07 12:01