次の硬貨を同時に投げる時表の出た硬貨の金額の和の期待値を求めよ。
(1)500円硬貨2枚
(2)500円硬貨2枚と100円硬貨1枚
(3)500円硬貨2枚と100円硬貨1枚と10円硬貨3枚

誰かどんなふうに考えたら良いのか教えてください。

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A 回答 (4件)

個々の硬貨の期待値を足すだけです。


個々の硬貨の期待値は額面の半額なので

(1) 500円 ÷2 x 2 = 500円
(2) 500円 ÷2 x 2 + 100円 ÷2 x 1 = 550円
(3) 500円 ÷2 x 2 + 100円 ÷2 x 1 + 10円 ÷2 x 3 = 565円

互いに影響しあわない、つまり関係のない事象の期待値は、
単純に足せるということです。

検算のため、硬貨の裏表の組み合わせ事象とその確率で (2) を解くと

500円A, 500円B, 100円 = 表表表 金額 1100円 確率 1/8
500円A, 500円B, 100円 = 表表裏 金額 1000円 確率 1/8
500円A, 500円B, 100円 = 表裏表 金額 600円 確率 1/8
500円A, 500円B, 100円 = 表裏裏 金額 500円 確率 1/8
500円A, 500円B, 100円 = 裏表表 金額 600円 確率 1/8
500円A, 500円B, 100円 = 裏表裏 金額 500円 確率 1/8
500円A, 500円B, 100円 = 裏裏表 金額 100円 確率 1/8
500円A, 500円B, 100円 = 裏裏裏 金額 0円 確率 1/8

期待値 = 4400円 x (1/8) = 550円

で一致します。(3) はさすがに240パターンなので
このとき方では大変でしょう(^^;

上の表の個々の硬貨の裏と表の数を数えてみれば、
最初の解き方でよいことが納得できるでしょう。
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それぞれの硬貨の期待値がが額面の半分なので


全体の期待値は合計額の半分
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1 表・表 1000円。

 表・裏と裏・表 500円ずつ 裏・裏 0円    4とおりで、2,000円。 期待値は、500円。
 2 同様に、 8とおりで、3,500円。 期待値、437.5円。
 3 同様に、 16とおりで、11,000円。期待値、687.5円
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硬貨を一枚投げたとき、何が起こるのか。


裏が出るか表が出るか、ですよね。
では、硬貨を二枚投げたとき、どうなるのか。
一枚が表が出たとき、もう一枚が、表が出るか裏が出るか、一枚が裏が出たとき、もう一枚が、表が出るか裏が出るか、ですよね。
樹形図、といいます。
表-表
 -裏 
裏-表
 -裏
(表、表)、(表、裏)、(裏、表)、(裏、裏)、と4通りある、ということになります。
基本的にはこうやって数えていくことになります。
特に注意書きが無いなら、出る確率はどれも同じ、なのでしょう。
では、それぞれが起きる確率は?
500円硬貨二枚が(表、表)の場合、「表の出た硬貨の金額の和」はいくらでしょうか?
(表、裏)、(裏、表)、(裏、裏)、の場合はどうでしょう?
期待値については、教科書参考書で調べて下さい。そんなに面倒な話ではありません。

硬貨が三枚の場合はどうでしょう。
1枚目-2枚目-3枚目とすると、どう書けますか?
表-表-

 -裏 

裏-表-

 -裏

続きを書いてみて下さい。

(1)(2)で頭を馴らして、じゃぁCだのPだので表すとどうなのか、と考えて、(3)を解くと良いでしょう。
力業で全部書き出したって良いと思いますがね。ウンウン呻るだけで手が止まるよりは余程正解率が高いでしょう。
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