tight-binding法での電場の取り入れ方

磁場がある場合のtight-binding法はパイエルス位相として磁場の効果を取り入れて議論することができるということを学びました。では電場の場合はどうなのかなぁと思って相談させていただきます。

（１）
1次元上のN個の電子が並んでいます。第二量子化の記号を使ってTBハミルトニアンは

H=-t Σ { a†_(j+1) a_j +a†_j a_(j+1) } + v Σ a†_j a_j

と書けると思います。ここでa†_jはj番目の電子の生成演算子です。tは飛び移り積分でvはオンサイトエネルギーです。Σはjについての和を表します。この系に電場Eを与えます。電荷をe、j番目の電子の位置がx(j)であるとき、静電エネルギー-qEx(j)とかけるので、

H=-t Σ { a†_(j+1) a_j +a†_j a_(j+1) } + v Σ a†_j a_j - e E Σ x(j) a†_j a_j

となると思います。合っていますか？

（２）
電場がないときは、生成演算子をフーリエ変換して対角化することによってエネルギー固有値がわかると思います。電場がある場合の対角化はどうしたらよいのでしょうか。

よろしくおねがいします。

No.4 回答者： eatern27 回答日時： 2016/11/08 17:20

ご自身で具体的に計算されてみるのが良いと思いますが、古典論(ハミルトン力学)でもゲージ変換でハミルトニアンの値は変わります。

これによって具体的にどのような問題が生じるのでしょうか？

No.3 回答者： eatern27 回答日時： 2016/11/06 11:23

>これは古典論でのドゥルーデモデルに対応しますね。

散乱の効果が入っていないのにDrudeモデルになるとは思えませんが、どの辺りがDrudeモデルなのでしょう？

>疑問なのは、パイエルス位相として電場を取り入れたときの固有値が、ハミルトニアンに- e E Σ x(j) a†_j a_j という項を加えたときの固有値と一致しないのです。

スカラーポテンシャルが変更を受けるようなゲージ変換をすればハミルトニアンの固有値は変わります。ベクトルポテンシャルを変更すれば運動量が変わるのと同じ話です。

古典的な系で考えた方が分かりやすいと思いますが、A=-Etとした時のハミルトニアンは運動エネルギーに対応する量になっています。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

ハミルトニアン自体が任意性をもつことはよくわかるのですが、固有値は観測量ですから、任意性をもってはいけませんよね。
一次元鎖に一様な電場を与えたときに
①パイエルス位相としてハミルトニアンにとりれる
②- e E Σ x(j) a†_j a_j という項を加える
という二つの場合で異なる固有値を返すのは、おかしいと思うのですが・・・。つまり、①も②も同じ一次元鎖に一様な電場を与えた系なのに、エネルギーが違うのは問題ないのでしょうか。

お礼日時：2016/11/07 10:12

No.2 回答者： eatern27 回答日時： 2016/11/01 11:48

同じ軌道を異なるスピンの電子が占有したときのクーロン反発がオンサイトエネルギーですから、スピンの自由度を考えないならオンサイトエネルギー自体登場しません。

φ=-eEx
という静電ポテンシャルを考えるならx方向の平面はによってφが変化しますから周期ポテンシャルでないのは明らかです。
古典的な描象だと電場によって電子は加速しますから、素朴に考えれば運動量も変化するわけで運動量が保存量にならないのは当然の帰結でしょう。


#1に書いたゲージを選べば
ハミルトニアンが時間に依存してしまうというデメリットはありますが一様電場なら並進対称性は残りそうな気がします。

この回答へのお礼

ありがとうございます。実はあのあと、A=-Etとして電場をパイエルス位相としてとりいれて解いてみました。すると、固有値はcos(k-Et)になることがわかりました。つまり、波数がずれているのですね。これは古典論でのドゥルーデモデルに対応しますね。

ただ、疑問なのは、パイエルス位相として電場を取り入れたときの固有値が、ハミルトニアンに- e E Σ x(j) a†_j a_j という項を加えたときの固有値と一致しないのです。

これはなぜなのでしょう。

お礼日時：2016/11/04 10:11

No.1 回答者： eatern27 回答日時： 2016/10/30 16:11

オンサイトエネルギーの項が間違っているように見えますが、電場の取り入れ方の部分については間違いではないでしょう。

ただ、ハミルトニアンのスペクトルが下限を持たない(基底状態が存在しない)ので全く問題がないわけでもないのですが。
このハミルトニアンを考えると、明らかに波数は良い量子数ではないので平面波を考えて上手くいくはずがありません。対角化できるとすれば、Airy(エアリー)関数に近いものを基底を選んだ時になるだろうと思います。(本当に対角化できるかまでは確かめてませんが)

ところで電磁気学によれば
E=-∇φ-∂A/∂t
B=∇×A
と与えられますので、
φ=0,A=-Et
としても一様電場を考えている事になります。
パイエルス位相の話は磁場というよりベクトルポテンシャルが飛び映り積分に出てくるのだったと思いますので、同じ事をやれば電場も導入できたような気がします。ご確認下さい。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

オンサイトエネルギーの項はおかしいのでしょうか。どこが間違っているのかよくわかりません。

波数は良い量子数ではないということは、つまり、系に周期的境界条件がないということで正しいでしょうか。実は、電場があるとき、エネルギーバンド図が、電場がないときに比べて、どのような修正をされるのかを知りたかったのですが、このような電場があるとそもそもエネルギーバンド図なんてものは書けないのでしょうか。

お礼日時：2016/10/30 16:47