No.1ベストアンサー
- 回答日時:
記号がダブルが。
B=<0,0,B>
とする。
電子の初速度を
<v₀sinθ, 0, v₀cosθ>・・・・・①
としても一般性は失わない。
運動方程式は
mv'=-e(v×B)
<vx',vy',vz'>=-(eB/m)<vy, -vx, 0>
つまり、
w=(eB/m)
とおくと
vx'=-wvy , vy'=wvx , vz'=0・・・・②
を解けばよい。
vx,vyの式は
vx''=-w²vx , vy''=-w²vy
となり、この解はよく知られ
vx=Acoswt+Csinwt, vy=Dcoswt+Esinwt
となる。①から
v₀sinθ=vx(0)=A , 0=vy(0)=D
なので
vx=v₀sinθcoswt+Csinwt , vy=Esinwt・・・・ ③
となる。②に入れると
-wv₀sinθsinwt+wCcoswt=-w(Esinwt)
sin, cosは一次独立なので、
-wv₀sinθ=-wE , wC=0 → E=v₀sinθ, C=0
すると③は
vx=v₀sinθcoswt , vy=v₀sinθsinwt
積分して
x=(v₀sinθ/w)sinwt+F , y=-(v₀sinθ/w)coswt+G・・・・④
簡単のため x(0)=y(0)=0 と座標を選べば
0=x(0)=F , 0=y(0)=-(v₀sinθ/w)+G → F=0 , G=v₀sinθ/w
すると④は
x=(v₀sinθ/w)sinwt , y=(v₀sinθ/w)(1-coswt)
となる。
x²+(y-v₀sinθ/w)²=(v₀sinθ/w)²
は自明。
なお、②の vzの解は積分して簡単に
vz=v₀cosθ → z=(v₀cosθ)t (z(0)=0 なので)
とわかる。
以上から、軌跡はx-y平面の射影は円で、z方向に一定速度で運動
するスパイラルとなる。
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