荷電粒子の運動

一様な電磁場 (E = (0, E, 0), B = (0, 0, B)) 中に置かれた（はじめは静止している）質量 m, 電荷 q(> 0) の荷電粒子の運動は有名な曲線になるみたいなのですが、求め方がわかりません。おしえて欲しいです。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/14 17:21

これもよく知られた問題です。

粒子の座標を (x,y,z) とし、初期の位置を原点とする。すると
初期条件は
　　　x'(0)=y'(0)=z'(0)=0 , x(0)=y(0)=z(0)=0・・・・・①
となる。

運動方程式は「'」を時間微分として
　　　mx''=qy'B , my''=q(E-x'B) , mz''=0
　　　x''=wy' , y''=a-wx' , z''=0、a=qE/m , w=qB/m・・・・②
となる。②を積分して
　　　x'=wy+A , y'=at-wx+C , z'=D
となる。初期条件①から、A=C=D=0 となり
　　　x'=wy , y'=at-wx , z=0　・・・・・・・・・・・③
となる。

つぎに、③を②に代入して
　　　x''=-w²x+awt , y''=a-w²y
となる。ここで
　　　X=x-(a/w)t , Y=y-a/w²　・・・・④
とおくと、
　　　X''=-w²X , Y''=-w²Y
となり、この解は
　　　X=Acoswt+Fsinwt , Y=Ccoswt+Dsinwt
となる。初期条件①から、
　　　X(0)=0 , X'(0)=-a/w , Y(0)=-a/w² ,Y'(0)=0
なので
　　　A=0 , F=-a/w², C=-a/w², D=0
となり
　　　X=-(a/w²)sinwt
　　　Y=-(a/w²)coswt　・・・⑤
を得る。

変数を戻すと④⑤から
　　　x=(a/w)t-(a/w²)sinwt=(a/w²)(wt-sinwt)
　　　y=a/w²-(a/w²)coswt=(a/w²)(1-coswt)
　　　z=0　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑥
という、サイクロイド曲線を得る。