R^3のベクトル 1 2 -1 1 2 -1 0 1 2 で生成されるR^3の部分空間の1組の基及び

R^3のベクトル

1 2 -1
1 2 -1
0 1 2

で生成されるR^3の部分空間の1組の基及び次元を求めなさいという問題なのですが、

a,b,cは実数{1} {2} {-1}
a{1 }+ b{2} + c{-1} = 0
{0} {1} {2}

としたのですが、１次独立ではなかったのですが、この場合はどうすればいいのでしょうか？

教科書では、すべて１次独立の問題だったので基底を求められたのですが・・・。

No.1 回答者： funoe 回答日時： 2016/12/05 11:56

(1 2 -1),(1 2 -1),(0 1 2) の３本で張られる部分空間ってことだよね。

どうみても１本目と２本目が同じなので、次元は３ではなくて２以下。
見るからに２本目と３本目は独立している（定数倍でない）ので、全体の次元は２。

ということは、基底としては、(1 2 -1)と(0 1 2)の２本とするのが一番の近道。
美しく整形するなら、２本目の２倍を１本目から引いて(1 0 -5),(0 1 2)としても綺麗かも。


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＞教科書では、すべて１次独立の問題だったので基底を求められたのですが・・・。
　まさかＲ＾３の部分空間で次元が３のものの基底を求める問題じゃぁないだろうね。
　それなら、(1 0 0),(0 1 0),(0 0 1)だよね、上手に整形すれば・・・。

この回答へのお礼

自分は、縦にとって、(1,1,0),(2,2,1)としたのですがそれでも大丈夫ですよね？

お礼日時：2016/12/05 23:51

No.2 ベストアンサー 回答者： funoe 回答日時： 2016/12/06 06:40

>自分は、縦にとって、(1,1,0),(2,2,1)としたのですがそれでも大丈夫ですよね？

問題に書いてある　「R^3のベクトル」ってのが　(1 1 0) ,(2 2 1),(-1 -1 2)の３本なら、当然そっちが正解さ。

この３本ならどの２本をとっても独立（つまり、どれかがどれかの定数倍ではない）だから
　(1 1 0) ,(2 2 1)　でも
　(1 1 0) ,(-1 -1 2)　でも
　(2 2 1),(-1 -1 2)　でもＯＫさ。