三元連立方程式の解き方を教えてください

x + xz - 2xz = 0
y - 2xz + yz = 0
-x^2 + xy - y^2 + 1 = 0

この三元連立方程式の解き方を教えて下さい。
よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• すみません、一番上の式は
  x + xz - 2yz = 0
  の間違いです。

    補足日時：2016/12/22 19:05

No.4 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2016/12/22 22:54

x + xz - 2yz = 0　　①

y - 2xz + yz = 0　　②
-x^2 + xy - y^2 + 1 = 0　　③

①から
z(2y - x) = x　　④
②から
z(2x - y) = y　　⑤

④*(2x - y) = ⑤*(2y - x) より
x(2x - y) = y(2y - x)
展開して
　2x² - xy = 2y² - xy
よって
　y = ± x

(a) y=x のとき
①より　x - xz = 0
x(1 - z) = 0
x=y=0 は③を満足しないので
　z = 1

②からも同様に
　z = 1

③からは
　-x² + 1 = 0
よって
　x = y = ± 1

(b) y=-x のとき
①より　x + 3xz = 0
x(1 + 3z) = 0
x=y=0 は③を満足しないので
　z = -1/3

②からも同様に
　z = -1/3

③からは
　-3x² + 1 = 0
よって
　x = -y = ± √(1/3) = ± √3 /3

以上をまとめると
(x, y, z) = (1, 1, 1), (-1, -1, 1), (√3 /3, -√3 /3, -1/3), (-√3 /3, √3 /3, -1/3)
かな。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2016/12/27 15:59

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2016/12/22 21:08

３番目の式にはＺがありませんから、

１番目と２番目の式からＺの無い式（Ｘ、Ｙだけの式）を作って
３番目の式との２元方程式にすれば解けませんか。

１番目と２番目の式はＸとＹが入れ替わっただけですから、面白い結果になりそうですよ。
（ＸとＹが入れ替わっただけと云う事は、Ｘ＝Ｙになりそう、とすればＺも暗算で答えが出そうですね。
細かい計算は、ご自分で頑張ってね。

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2016/12/22 16:04

これ、式を間違えていませんよね?

一つ目の式の左辺は同類項をまとめて因数分解すれば簡単。
二つの解が得られるため、その値を2番目と3番目の式に入れてしまえば簡単。

No.1 回答者： funoe 回答日時： 2016/12/22 16:03

x + xz - 2xz = 0

　　↑
ホントに　ｘ－ｘｚ＝０　の意味？　間違えていない？

真面目に解き始めようとしたトタン、引っかかっちゃった。