二次関数f(x)＝aX^2＋bX＋ｃについて、Ｙ＝f(x)のグラフをCとする。 Cの頂点が(4、2)

二次関数f(x)＝aX^2＋bX＋ｃについて、Ｙ＝f(x)のグラフをCとする。

Cの頂点が(4、2)であり、Ｙ切片が－14のときa＝－1、b＝8、ｃ＝－14である。

なぜa＝－1、b＝8になるのかわかりませんお願いします！

No.2 ベストアンサー 回答者： cruelman 回答日時： 2017/01/04 16:35

頂点の座標が(4,2)なのでCは

y=p(x-4)^2+2
と書き表すことができる。
これを展開してy=ax^2+bx+cの式と比較する。
x^2の係数、xの係数、定数項、がそれぞれ一致するはずなので連立方程式が得られる。
これを解けばaとbは求まる。
別解としてy=ax^2+bx+cの式を平方完成させて、そこから連立方程式を得るというアプローチも考えられる。

この程度の問題は人に聞かずに解けるようにしておきたい。
でないと模擬試験で困るはず。
模擬試験で困るということは大学進学を希望する場合入試でもっと困るということになる。

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/01/04 16:18

Ｙ＝f(x)＝ax²＋bx＋ｃ を完全平方の形に変形する

｛完全平方：y=○(x+△)² + □　の形、頂点=(ｰ△,□)となる}

f(x)＝a{x²＋(b/a)x+ (b/2a)²} - a(b/2a)²+c
=a(x + b/2a)² - (b² -4ac)/4a

頂点の座標は(-b/2a, (b² -4ac)/4aだから
-b/2a=4････①
-(b² -4ac)/4a=2････②

①より8a+b=0
②より8a+b²-4ac=0････③

Ｙ切片のx座標は0だからx=0の時y=-14
f(0)=a･0² + b･0 + c = -14 ∴c= -14
これを③に代入すると
8a+b²+56a=0･･･④

8a+b=0より b=-8a を④に代入すると
8a+64a²+56a=0
64a² + 64a=0
a² + a=a(a+1)=0
∴a=0,-1

a=0だと2次式になら無いからa≠0
∴a=-1

a=-1を①に代入すると
-b/-2=-8
∴b=8

a=-1,b=8,c=-14