絶縁体を並行な電極で挟んで 電圧Voを印加する。 片側の電極は透明材料で形成。 非常に短いパルス状の

絶縁体を並行な電極で挟んで
電圧Voを印加する。

片側の電極は透明材料で形成。
非常に短いパルス状の光が透明電極側から絶縁体に入射する。
光は絶縁体の表面で吸収される。
(キャリアの熱励起と電極からの注入はないとする。)

1)この材料のバンドギャップは4.00eVである。光電効果が起こるために必要な光の波長の上限を求めよ。単位はnmとする。

2)電圧を印加してから十分な時間が経過して、絶縁体中に一様に固定電荷密度ρが形成されたとする。この時絶縁体の厚さ方向の位置xにおける電位V(x)について次の2階の微分方程式が成り立つ。空欄をうめよ。

d^2V/dx^2=[ ]

3)境界条件をV(0)=Vo, V(d)=0として上の微分方程式を解くと、絶縁体中の電解分布E(x)が次式の通り求められる。空欄をうめよ。
E(x)=ρ/2εrεo(2x-d)+[ ]

d:絶縁体の厚さ εr:非誘電率 εo:真空での誘電率


この問題解けるかたいますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2017/01/14 01:05

なんか変な問題ですね。

1)は「光電効果」ですが、2)3) とは何の関係もないと思います。電子が飛び出した後の「正電荷」が蓄積するというのでしょうか。
2)は空間に分布する電荷の作る電場もしくは静電ポテンシャル、3)はそのある境界条件での解です。

1) 光の振動数を ν とすると、光電効果が起こるためには、プランク定数を h として
　　hν ≧ 4 (eV) ≒ 4 * 0.1602 * 10^(-18) (J) = 6.408*10^(-19) (J)
よって
　　ν ≧ 6.408*10^(-19) (J) / h = 6.408*10^(-19) (J) / (6.626 * 10^(-34) (Js))
　　　≒ 9.67*10^14 (1/s)
光の速度を c=2.998*10^8 (m/s) として、この ν に相当する波長 λ は
　　λ ≦ c/ν = 2.998*10^8 / 9.67*10^14 ≒ 0.310*10^(-6) (m)
つまり波長の上限は約 0.31 μm = 310 nm。

以下の問題は、光電効果とは関係なく、一様な電荷密度ρが作る電場として考えます。

2) ガウスの法則より、誘電率を ε = εr*ε0 と書いて（εr:比誘電率、ε0:真空での誘電率）
　　div(E(x)) = ρ/ε
この場合には、電場 E(x) は x のみの関数なので
　　dE(x)/dx = ρ/ε
ということになります。

　また、-grad(V) = E(x) ですが、これも x のみの関数なので
　　dV/dx = -E(x)

　以上から
　　d^2V/dx^2 = -ρ/ε　　　(A)

3) 上記(A)を解いて、 V(x) を求めると

　　E(x) = -(1/ε)∫ρdx = -ρx/ε + C1
　　V(x) = ∫(-ρx/ε + C1)dx = -ρx^2/2ε + C1x + C2

初期条件より
　　V(0) = C2 = V0
　　V(d) = -ρd^2/2ε + C1d + V0 = 0
　　→ C1 = (ρd^2/2ε - V0)/d = ρd/2ε - V0/d

よって
　　V(x) = -ρx^2/2ε + (ρd/2ε - V0/d)x + V0

これより
　　E(x) = -dV/dx
　　　　 = ρx/ε - ρd/2ε + V0/d
　　　　 = (ρ/2ε)(2x - d) + V0/d