数の性質（連続数の積）

問題：
１から９５までの整数をかけた１×２×３×・・・×９５の積を計算したとき、
一の位から０が何個続きますか？

解説：
１０＝２×５
素因数分解したとき、２と５がそれぞれ１回ずつあれば０が１つならぶ。
２は５より多い回数割れるので、５で割れる回数を調べる。
９５÷５＝１９
９５÷２５＝３・・・２０
１９＋３＝２２個

質問：
なぜ５（と２５）の回数だけを調べるのか、
２は調べなくてよい理由がわかりません。
教えていただけますでしょうか。

よろしくお願いします。

No.3 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/02/12 14:33

0の数が続くというのは、10が何回かけられたか、というのは分かっているようですね。

10がかけられる数は、2*5を作れる数の合計、となりますね。
問題は2*5がいくつ作れるかということです。
因数分解して2がいくつ出てくるかと言うと、2の倍数＝95/2＝47.5より47個、
さらに4の倍数には2が2個ずつあるので95/4＝23.75より23個、
さらに8の倍数には2が3個ずつあるので95/8＝11.875より11個、
さらに16の倍数には2が4個ずつあるので95/16＝5.9375より5個、
さらに32の倍数には2が5個ずつあるので95/32＝2.96875より2個、
さらに64には2が6個あるので1個、
合計して47+23+11+5+2+1＝89個含まれています。
それに比べて5は
5の倍数＝95/5＝19個
25の倍数＝95/25＝3.8より3個
合わせて22個です。

2よりも5の方が大きいので、倍数が含まれる数は5の方が小さくなります。
2の含まれる数と5の含まれる数の小さい方の数によって2*5を作れる数が決まるので、
倍数の数が少ない５の方だけを考えればよいのです。

No.2 回答者： Ku-Mei 回答日時： 2017/02/12 14:27

1 から 95 まで掛け合わせた数を素因数分解するとき、２と 5 の個数を比べると、２の方が圧倒的に大きい（95までの偶数だけでも、42個あります）から、5の個数を数えればよいということになります。

ここまでが、あなたの疑問に対する回答です。

以下は、おまけです。
実際に、5の個数を数えるために、まず5の倍数を数えます（それには、5が1個は入っています）。
　　95/5 = 19
それから、25 (= 5^2 = 5 x 5)の倍数を数えます（それには、5が2個は入っています）。
　　95 = 3 x 25 + 4
ですから、3個あることが分かります。(5^3 は95を超えるから考える必要はない。）

以上のことから、素因数分解したときの5の個数は、
　　19 + 3 x 2
となりそうですが、25の倍数を数えたときに、5の倍数で数えた数も入っていますから、その分の3個を引かなければなりません。したがって、
　　19 + 3 x 2 - 3 = 19 + 3
となります。
この 19 + 3 の 3 を解釈しなおすと、5 の倍数のうち、さらに、5 を因数としてもつ数の個数を求めるために、19 を 5 で割ったときの商を表すことが分かります（この考え方が重要です）。

この問題では、95 までの積でしたが、どんなに大きな数までの積でも、この考え方で、計算することができます。
たとえば、200までの積のときは、まず、200を5で割って、5の倍数の個数を求め、それをまた5で割って、25の倍数の個数を求め、それをまた5で割って、125（＝5`3）の倍数を求めて、それを足し合わせると、5の個数が求まります（5^4 > 200 より、ここまででOK) 。

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/02/12 13:35

1から95までの間に、2の倍数(偶数)が42個あります。

これらが5と25と掛け合わさると10の倍数になります。

42個もあるのですから、
>２は５より多い回数割れるので、５で割れる回数を調べる。
の文章が意味するところです。