放物線の方程式について

原点Oが頂点、下に凸の放物線では焦点Fを(0,p) 準線をy=-pとしているのですがなぜpと-pと置けるのでしょうか？

放物線の定義は定点Fとそれを通らない定直線Lから等しい距離にある点の軌跡であるから放物線の頂点からの距離が一緒になるためにはpと-pと置かないとならないからという解釈でも大丈夫でしょうか？

教えてください

質問者からの補足コメント

• その通りです

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/02/19 13:08

• 書かれている通りに手を動かしてノートに書いてみました
  こういったメカニズムで放物線ができるのですね！
  
  参考書にもこのようには載っていなかったので、大変わかりやすかったです
  
  自分の解釈があっているか検討してもらいたいのですが
  p>0とする。下に凸で、焦点が(0,p)、準線がy=-p
  とあえてpと-pのようにきれいな数字にするのは
  放物線の頂点を原点にするためでしょうか？
  
  今自分で、c>0、p>0とし焦点をF(0,c)
  準線をy=-p、軌跡上の点をP(x,y)とすると
  放物線の定義から
  √{x^2+(y-c)^2}=|y+p|
  2(c+p)y=x^2+(c+p)(c-p)
  よってy=1/2(c+p)•x^2+(c-p)/2
  
  となったので、これでは放物線の頂点は原点にないので、c=pとして
  y=(1/4p)・x^2
  となるという解釈であっていますか？
  よろしくお願いします。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/02/19 14:51

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/02/17 23:49

焦点を (0, p), 準線を y=-q としてやってみればわかるはず.

No.2 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/02/18 06:28

「放物線の定義は定点Fとそれを通らない定直線Lから等しい距離にある点の軌跡」が放物線ですから、

焦点Ｆ(0,p)を決めて、ｙ軸に対称な原点Ｏを頂点とする下に凸の放物線を描くとするなら、準線はy=-pとなります（としか、なり得ない）。
ただし、「原点Oが頂点」とう条件がつきますので気をつけて下さいね。

No.3 回答者： tekcycle 回答日時： 2017/02/19 07:47

解いてませんが、あなたの話によれば、

準線をｙ＝ｑとすると、準線と放物線との距離は、(ｔ,ｑ)と(ｔ,ａｔ^2)との距離ですよね。
じゃぁ(０,ｐ)と(ｔ,ａｔ^2)との距離は？
あるいは、(ｔ,ｑ)と(ｔ,ｓ)との距離、(０,ｐ)と(ｔ,ｓ)との距離が等しくなるような(ｔ,ｓ)に於いて、ｓはｔを用いてどう表せるか？でも良いでしょう。
質問するより解いちゃった方が早い。
自分で疑問を持ったら自分で解いちゃうようにすると、力が付きます。
その自分の解答に穴が無いか、はここのお歴々に見て貰うと良いかもしれませんが。

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/02/19 11:45

図で考えてみましょう！

放物線は、y=a√(x+b) ただしa=0ではない
これは、y=√xを並行移動や大小したものだから、
簡単に、y=√xで考えてみると、∴y^2=x (x＞0)つまり
yの2次関数でx軸に対称だからだよ！

y=x^2 や y=ー(x^2) のグラフを考えたらわかるよね！

No.5 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/19 12:43

頂点が原点 O で, 下に凸の放物線が与えられ,

その焦点 F の座標を (r, p), 準線 L の方程式を ax + by + c = 0 とします.
質問を読むと, 要するに, こういうことでしょうか.

貴方は,
1) r = 0 であることは理解している
2) p > 0, p = 0, p < 0 のどれが正しいかについては, 特に気にしていない
3) a = 0 かつ b ≠ 0 であることは理解しているが, c = bp である理由が分からない

どこか違っていたら, 訂正してください.

No.6 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/19 14:28

先に放物線が与えられて, 後から焦点と準線を見つける.

慣れてくれば, それは簡単でしょうが, 最初は難しいと思います.
急がば回れ.
まず, 放物線を描く練習をするのが, 理解への近道です.

ノートに直線を描いてください.
その直線は, ノートの罫線に平行である必要はなく, 垂直である必要もありません.
むしろ, 少し傾いているほうが面白い.

いま描いた直線を ℓ とします.
次に, ℓ 上にない点を 1 つとり, F と名付けましょう.
F より ℓ におろした垂線の足を H, 線分 FH の中点を M,
線分 FH の垂直二等分線を m, 直線 FH を n とします.
M は点 F と直線 ℓ への距離が等しい点です.

そのような点は, M だけでしょうか.
ℓ 上に H と異なる点 H₁ をとり, H₁ を通り ℓ に垂直な直線 ℓ₁ を描いてください.
線分 FH₁ の中点 M₁ は直線 m 上の点であり, 線分 FH₁ の垂直二等分線と ℓ₁ の交点を P₁ とします.
△FM₁P₁ と △H₁M₁P₁ は合同なので, FP₁ = H₁P₁ が成り立ちます.
つまり, P₁ も点 F と直線 ℓ への距離が等しい点です.

このように, 直線 ℓ 上の点を 1 つ決めるごとに, 点 F と直線 ℓ への距離が等しい点が 1 つ得られます.
こうして得られる点すべてからなる曲線を, 放物線と定義します.
また, ℓ, F, M を, それぞれ, この放物線の準線, 焦点, 頂点といいます.

取り敢えず, ここまでの作業を, 実際にやってみてください.
M と P₁ だけでは心細いので, 点 F と直線 ℓ への距離が等しい点を, なるべくたくさん求めましょう.
P₁ を求めたときと, まったく同様の作業を繰り返せばいいのです.
得られた点すべてを滑らかに結べば, 放物線らしく見えるはずなのですが, いかがでしょうか.

何か分からないことがあれば, 遠慮なく質問してください.

No.7 ベストアンサー 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/02/19 16:22

中学で 2 次関数 y = ax^2 (a ≠ 0) を習い, そのグラフを放物線と教えます.

この放物線の軸は y 軸, 頂点は原点 O であり,
さらに a > 0 の場合, 放物線は下に凸で, 焦点の y 座標を p とすれば, p > 0 です.
よって,
>p>0とする。下に凸で、焦点が(0,p)、準線がy=-p
>とあえてpと-pのようにきれいな数字にするのは
>放物線の頂点を原点にするためでしょうか？
この解釈で正しいと思います.
中学で最初に習った放物線 y = x^2 が, これに該当しますので.
ただし, 放物線の頂点を原点にするだけでなく, 軸を y 軸と一致させる目的もあります.

c > 0, p > 0 で, 放物線の焦点 F の座標が (0, c), 準線の方程式が y = -p のとき,
放物線の方程式は, 貴方が求めたとおり, y = [1/{2(c + p)}]x^2 + (c - p)/2 です.
さらに, 放物線の頂点が原点と一致するためには, c = p であることが必要十分で, その場合,
放物線の方程式が y = {1/(4p)}x^2 である, ということも正しいです.

先ほどの作図に戻って考えると, まず, 貴方のノートを xy 平面と考えます.
2 直線 m, n は直交するので, 回転と平行移動をほどこすことにより, m を x 軸, n を y 軸に移せます.
その場合, 当然 M は原点 O に移ります.
FM = HM = p とおくと, 当然 p > 0 であり, F が移る点の座標は (0, p) か (0, -p) のどちらかですが,
（作図で得られた放物線が）移った放物線が下に凸になる場合, F が移る点は (0, p) です.
このとき, H が移る点の座標が (0, -p) で, 準線 ℓ が移る直線の方程式が y = -p であることは明らかです.

この回答へのお礼

細かに点検していただいてありがとうございました！
やっと疑問が解決できました！
またそのうち質問すると思うので、時間があれば解答していただけると幸いです！

お礼日時：2017/02/19 17:02