流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

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A 回答 (2件)

 


 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 
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この回答へのお礼

お返事、ありがとうございます。
Δのほうはまだ納得できていませんが、
もう少し自分で考えてみたいと思います!!

お礼日時:2004/08/17 11:52

ベクトル解析の座標変換のところを見れば必ず計算方法が載っています.また微分形式などでベクトル微分と1形式微分の違いを理解できると多少見通しよく系統的に導出することもできますが,いずれにしても面倒な計算です.まずはベクトル解析で調べて計算して見てください.ちなみに



>ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。

ですが,右辺の第1項と第2項をまとめると
(1/r)(∂/∂r)(r∂/∂r)
となります.これを展開すると指摘のように4項になります.

結果だけならば,たいがいの物理参考書や数学辞典や数学公式集の付録に,円柱座標系,球座標系のgrad, div, rot, Δの公式が記されていると思います.これらの公式を導出することは,流体力学だけでなく色々な分野で出てきますが,それ自体現在勉強している物理を習得することには本質的ではないので,特に気にすることはないでしょう.また,毎回毎回こんな公式を導出するのは明らかに非効率的なので,頻繁に使うようでしたら,付録をコピーして壁にでも貼っておきましょう.
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この回答へのお礼

お返事、ありがとうございます。
結果は覚えてしまったほうがいいということですね。

ところで、やはり
>ですが,右辺の第1項と第2項をまとめると
>(1/r)(∂/∂r)(r∂/∂r)
>となります.これを展開すると指摘のように4項になります.
の部分が分かりません。
これを展開すると4項になるのは分かるのですが、
なぜこの式が出てくるのかについては、
また面倒な計算の賜物なのでしょうか。

お礼日時:2004/08/17 11:45

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Qラプラシアンの物理的な意味

ラプラシアンが、物理的側面から、どのような意味を持つのか想像できません。

ΔA=∇^2 A= div grad A
ラプラシアンが勾配の発散であることは、数学的に理解できます。
また、勾配、発散(湧き出し)はイメージできます。

しかし、勾配の発散のイメージが分かりません。
googleで調べてみましたが、検索方法が悪いのか、理解できるページが見つかりませんでした。
Gooにも該当する質問はないようです。

初歩的な内容で恥じ入るばかりですが、
どなたか、「勾配の発散のイメージ」をご教授ください。
よろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

>gradならば、「坂道の勾配」などで説明されると思うのですが、そのようなイメージ的なニュアンスで…。

いい線行っているのではないでしょうか?
勾配というのは,要するに傾きですよね。発散場のベクトルは最大勾配を下る向き。山をちょろちょろ下る水の流れのようなものです。「ちょろちょろ」でなくてはなりませんが,イメージとしては十分。
山肌は2次元面なのに対して,3次元空間のポテンシャルの勾配というのをイメージできないのは,しかたのないことです。むしろポテンシャルAに対する理解が十分かどうかが問われるでしょう。たとえば,密度減少の最大勾配方向に向かう流れベクトル・・・などはいかがでしょう。そうした具体的な場面に適用していくことで,ラプラシアンのイメージができていくと思います。本来が数学的抽象的な概念なのですから,イメージをつくるにはアナロジーと応用を知る以外にはないのではないでしょうか?

Qsinθ=θ-(θ^3/3!)+(θ^5/5!)-・・・=θ(1-(θ^2/6)+(θ^4/120)

sinθ=θ-(θ^3/3!)+(θ^5/5!)-・・・=θ(1-(θ^2/6)+(θ^4/120)-・・・)
この式より、θ=0.15radの場合の解が左辺と右辺でほぼ等しくなることを証明せよ。ただし、右辺は第3項(θ^5/5!)まで各項を数値で求め、その和を左辺と比較することとする。
この問題を詳しく教えていただきたいです。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

テイラー展開を何次の項まで計算するか、という計算問題ですよね。
下記をご自分でも計算してください。

sin(0.15rad) = 0.15 - (0.15^3/3!) + (0.15^5/5!) = 0.15 - 0.0005625 + 0.000000632 = 0.149438132

関数電卓で計算すると
 sin(0.15 rad) = 0.14943813247

9桁目まで一致していますね。

関数電卓サイト
https://www.google.co.jp/search?q=%E9%96%A2%E6%95%B0%E9%9B%BB%E5%8D%93&oq=%E9%96%A

Q円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン

流体力学のナビエ・ストークス方程式を
勉強しています。

途中で、円筒座標系における
ナブラ∇、およびラプラシアンΔ
が出てきて、
∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)
Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2
となっています。
なぜ、変なところでrで割り算したり、
ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。
どなたか分かる方、教えていただきたいです。

Aベストアンサー

 
 
 円筒(または円柱)座標ですね;

  x → r  長さ→長さ
  y → θ 長さ→角度
  z → z  長さ→長さ

 時計の針がちょっと回転したとき、先端の動きは 針の長さ方向と直交してますね。x と y のように。
針の長さを r、ちょっとの回転角度を dθ とすれば
先端の動きは r dθ です。
dr を dx だとすれば、それに直交する dy は r dθです、
つまり、
  ∇=(∂/∂x, ∂/∂y,   ∂/∂z)
  ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z)


 △の方は、(r^2∂θ^2) が dy^2 だと気付いて欲しいんですが、微分の基本の公式
  (fg)' = f'g + fg'
で、項を増やしたあとのようですね。
ご自分で確認してください。
 
 

Qdivで『Ex(x+Δ、y+Δ、z+Δ)-Ex(x+Δ、y、z)』は無視できる?

div(発散)の定義の途中過程についてです。

P(x、y、z)の近くに各座標軸に沿った長さがΔx、Δy、Δzの微小直方体を考える。
その微小直方体のyz平面に平行な面をそれぞれA、Bとする。
(Aのx座標がx、Bのx座標が(x+Δx))
E(Ex、Ey、Ez)とする。
∫(A+B)Exds={(Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z))/Δx}ΔxΔyΔz
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。』・・・※

この最後の1文についてなのですが、
私は〈微小直方体におけるExのy方向、z方向の変化量『Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』は
x方向の変化量『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)』に比べると無視できる〉つまり
『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』と解釈しました。

そこで質問なのですが、
自分には『Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)』はちっとも明らかには思えないのですが、
なぜこれが成り立つのでしょうか?
ここら辺の説明が詳しく載っている参考書がなくて困っています。
(どの参考書でも明らかとしてサラッと流されている。)

どなたかよろしくお願い致します。

以下参考HPです。
http://www.ese.yamanashi.ac.jp/~itoyo/lecture/denkigaku/denki01/denki01.htm#発散

div(発散)の定義の途中過程についてです。

P(x、y、z)の近くに各座標軸に沿った長さがΔx、Δy、Δzの微小直方体を考える。
その微小直方体のyz平面に平行な面をそれぞれA、Bとする。
(Aのx座標がx、Bのx座標が(x+Δx))
E(Ex、Ey、Ez)とする。
∫(A+B)Exds={(Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z))/Δx}ΔxΔyΔz
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについ
高次の寄与しか与えない。』・・・※

この最後の1文についてなのですが、
私は〈微小直方体におけるExのy方向、z方向の変化量『Ex(x+...続きを読む

Aベストアンサー

『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』

というのは言葉足らずで、
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、平面A、B間におけるΔy、Δz、それぞれの変化
については、高次の寄与しか与えない。』ということだと思います。

式で表わせば、
{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
-{Ex(x、y+Δy、z)-Ex(x、y、z)}
={∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
-{∂Ex(x、y、z)/∂y}・Δy
={∂^2Ex(x、y、z)/∂x∂y}・ΔxΔy
(zについても同様)
となるからです。

因みに、
Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)
=∂Ex(x、y、z)/∂x}・Δx
であり、
Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)
={Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y+Δy、z)}
+{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
=∂Ex(x+Δx、y+Δy、z)/∂z}・Δz
+∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
となるので、
Ex(x+Δx、y、z)-Ex(x、y、z)>>Ex(x+Δx、y+Δy、z+Δz)-Ex(x+Δx、y、z)
は言えそうにありません。

『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、それはΔy、Δzについて高次の寄与しか与えない。』

というのは言葉足らずで、
『ここでy、z座標の値も面内で変化しているが、平面A、B間におけるΔy、Δz、それぞれの変化
については、高次の寄与しか与えない。』ということだと思います。

式で表わせば、
{Ex(x+Δx、y+Δy、z)-Ex(x+Δx、y、z)}
-{Ex(x、y+Δy、z)-Ex(x、y、z)}
={∂Ex(x+Δx、y、z)/∂y}・Δy
-{∂Ex(x、y、z)/∂y}・Δy
={∂^2Ex(x、y、z)/∂x∂y}・ΔxΔy
(zについても同様)
となるからです。
...続きを読む

QTeXについて

TeXについて質問です。

Easy TeXを使っています。
ですが、コンパイルができません。
TeXのほかに何かインストールしなければならないらしいのですが、何かわかりません!!
どなたかインストールできるURLなど教えてください!!

回答よろしくお願いします!!

Aベストアンサー

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/bibun2e.html

● 大島利雄氏サイト
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/ftp-j.html

●  TeX Q & A
http://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/qa

「TeX Q & A」は, TeX に関する諸々のQAを扱い,
ほとんどの質問に専門家などの方々が回答を寄せてくれます.

参考URL:http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

ご参考になるかどうか,分かりませんが,下記のサイトをご紹介します.

● TeX を取得できるサイト:
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/texinst98.html

http://www.iterasi.net/openviewer.aspx?sqrlitid=tb8dveicleorxfkraj8uzg

● 日本語TeXのインストールのチェック
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/tex_instchk.html

● dviout
http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviouttips.html

http://akagi.ms.u-tokyo.ac.jp/dviout-ftp.html

● 『[改訂版]LaTeX2e 美文書作成入門』
http://oku.ed...続きを読む

Q(∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P

大学の講義で (∂U/∂V)_t=T(∂P/∂T)_v-P
をマクスウェルを使わずに証明していたのですが
写真の?の部分の意味がわからないです…
教えてくださいm(__)m

Aベストアンサー

意味としてはマックスウェルの関係式と同じものですね。

df = fx dx + fy dy

が完全微分である条件は

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という数学の定理。

より一般に,3変数なら

df = fx dx + fy dy + fz dz

fx, fy, fzをベクトルFの成分としたとき,dfが完全微分である条件は

rot F = 0

このとき,ベクトルFを導くスカラーポテンシャルφが存在し

F = grad φ

となるので,

fx = ∂φ/∂x,fy = ∂φ/∂y

したがって,冒頭の

∂fx/∂y = ∂fy/∂x

という条件は

∂(∂φ/∂x)/∂y = ∂(∂φ/∂y)/∂x

QTeX原稿ファイルのMIMEタイプは?

ホームページを開設しようかと,プロバイダ(ぷらら,@niftyでも同じ)のHP用のMIMEタイプ一覧表を見ていたのですが,TeXの文書はapplication/x-texとなっています.
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TeXはそれなりに使い慣れているのですが,そもそもMIMEがメールの添付ファイル用のヘッダだということは今日知ったもので…

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texはテキストエディタで開いてもふつうには読むことが出来ませんね?
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そこで、texを普通に(読むだけなら余分なコマンドを表示しないよう)見せるためにコンパイルする必要があります。ということは、テキストファイルではあっても何らかの処理が必要になるのでMIMEタイプを指定する必要があると言うことになります。

Q並列回路の合成抵抗の公式が1/R=1/R1+1/R2になる理由を教えてください

学校のレポートでこのような課題が出て調べてみたら公式はどこにでも載っていました。しかし、その理由(理論)がかいてあるところはどこもありませんでした。どうか助けて下さい。お願いします。

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勿論オームの法則からでも、全く同じことが言えます。
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E=R2i2 → i2/E=1/R2
E=Ri → i/E=1/R
ところが、i=i1+i2(2つの経路の電流の足し算)なので
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いっちょあがり。

QtexでText line contains an invalid characterというエラーがやたら出る

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcommand{\tblcaption}[1]{\def\@captype{table}\caption{#1}}
\makeatother

\begin{document}

文章

\end{document}

これで、
tex文書 1.tex(101): エラー: ! Illegal unit of measure (pt inserted).
tex文書 1.tex(101): エラー: ! LaTeX Error: Missing \begin{document}.
tex文書 1.tex(101): Overfull \hbox (14.70819pt too wide) in paragraph at lines 101--289
tex文書 1.tex(624): エラー: ! Text line contains an invalid
            省略
tex文書 1.tex(639): エラー: ! Text line contains an invalid character.
tex文書 1.tex(2): エラー: ! File ended while scanning use of \@argdef.

というように書いてない部分でエラーが出てしまいます。
\begin{document}より上の部分は以前使っていたものをそのまま使って
います。この部分を消しても変わりませんでした。
どうしたらエラーをなくせるか教えてください。
よろしくお願いします。

先日OS(windowsXP)を入れなおして、texを入れました。
OSを入れなおす前と同様にやったようにやったのですが、
変なエラーがやたらでてきます。
\documentclass[a4paper,12pt]{jarticle}
\usepackage[dviout]{graphicx}
\usepackage{wrapfig}
\setlength{\textwidth}{16cm}
\setlength{\textheight}{23cm}
\setlength{\topmargin}{-1cm}
\setlength{\oddsidemargin}{0cm}
\setlength{\evensidemargin}{0cm}
\makeatletter
\newcommand{\figcaption}[1]{\def\@captype{figure}\caption{#1}}
\newcomm...続きを読む

Aベストアンサー

コンパイルにWinShellを使っていると思います。
WinShellの設定が日本語用にされていないので、英語版のlatex.exeが
動き、エラーが出ていると思います。
一度、WinShellの設定を確認してみてください。

Qラグランジェの未定係数を使ってX^2+Y^2+Z^2=1 XYZの最大

ラグランジェの未定係数を使ってX^2+Y^2+Z^2=1 XYZの最大値は?ただし0<X<1 0<Y<1 0<Z<1である  さっぱり分からなくて四苦八苦しています。皆様の知恵をお貸し頂けないでしょうか?

Aベストアンサー

下記に参考URLを添付します。

問題では、
f(x)=xyz
g(x)=x^2+y^2+z^2
として解けばよいのではないでしょうか?

参考URL:http://moondial0.net/archives//www12.plala.or.jp/ksp/mathInPhys/lagrangeUndetermin/index.html


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