積分について

関数f(x)が閉区間　[a，b]で積分ができれば　開区間(a，b)でも積分はでき同じ値になるのですか

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/03/31 13:50

高校生の質問である前提で回答します。

大学生なら積分の定義から始めて、線形代数や集合論なども使ってチマチマ話を進めないといけないのですが、結果は同じです。
イメージできれば良いと思います。

閉区間を[a,b]、開区間を(a,b)で表します。

積分区間を分けられるのは、積分の基本的な性質で、[a,b]を3つに分けることができます。

∫[a,b] f(x)dx
= ∫[a,a] f(x)dx + ∫(a,b) f(x)dx + ∫[b,b] f(x)dx

ここで、Fを不定積分値とすると
∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)。b=aを代入すると
∫[a,a] f(x)dx = F(a) - F(a)=0
∫[b,b] f(x)dx = F(b) - F(b)=0

∴= ∫[a,a] f(x)dx + ∫(a,b) f(x)dx + ∫[b,b] f(x)dx
= 0 + ∫(a,b) f(x)dx + 0
= ∫(a,b) f(x)dx

∴∫[a,b] f(x)dx= ∫(a,b) f(x)dx

同じになりました。

この回答へのお礼

早速のご回答詳しく説明して頂き有難う御座います

お礼日時：2017/03/31 16:02