物理のvtグラフで変位を面積で表すのはなぜですか?
赤いところのなにが変位かわかりません

「物理のvtグラフで変位を面積で表すのはな」の質問画像

A 回答 (2件)

速度に経過時間をかけると、移動距離になります。


では、なんでグラフの面積が移動距離になるかと言うと、速度が変化しているので、経過時間毎の移動距離をその時の速度と経過時間の積と考えて、限りなく経過時間を短くしていきます。
そうすると、グラフの図の面積を短冊状の面積の和と考える事が出来ます。(これを数学では、積分と呼びます)
一定速度の場合は、面積はV:一定なので、長方形の面積となります。
今回は、加速度が一次式なので、台形の面積(速度の勾配が一定の場合です)となります。
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この図には変位を表す式が無い。


この場合の変位=進む距離
赤い面積が進む距離になる。
変位=距離x=v0・t + 1/2・(at²)

加速度=0の場合、速度は一定でv0 これだったら解るかなぁ。
距離=v0・t(速度×時間)になるんだけど・・・・。
下図の長方形の面積
「物理のvtグラフで変位を面積で表すのはな」の回答画像1
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 しかし等加速度直線運動になるとv-tグラフに傾き(≠0)が出てきてしまい、「等速直線運動よりは長い距離移動するんだな」ぐらいしかわかりません。さらには曲線のグラフなんかもありもう感覚で、面積=移動距離は無理になってしまいます。

 教科書や参考書にも理由がなかったのでどなたか教えていただけると嬉しいです。

Aベストアンサー

こんばんは。

はい。私も高校の頃、なぜなのかわからず、もやもやとしていました。
#1様がおっしゃるとおり、積分と深い関係があります・・・・・というか、積分そのものです。
高校では、物理で微積分を利用しないですからね。
私は大学に入って、微積分を使う物理を学んでから、頭の中の霧が晴れました。

まず、等加速度直線運動を、微積分を使って説明します。
位置をx、速度をv、加速度をa、時刻をtと置きます。
加速度 = a
両辺を時刻tで積分すれば、
v = at + Const.
時刻t=0 における速度をv0 と置くと、v0 = Const.
よって、
v = at + v0
という、速度の式が出来上がりました。
さらに両辺を時刻tで積分すれば、
x = 1/2・at^2 + v0・t + Const.その2
時刻t=0 における位置xを0に決めると、0=Const.その2
よって、
x = 1/2・at^2 + v0・t
これは、
x = 1/2・vt + v0・t
とも書けます。
よって、
二辺がv0、tの長方形

底辺t、高さvの三角形
とを合わせた台形の面積が、距離xになります。



今度は、グラフで考えてみましょうか。

横軸をt、縦軸をvとして、v = f(t)のグラフを描くとします。
t=0~1、t=1~2、t=2~3、・・・・・
と、1秒ごとに区間分けします。
すると、
t=0~1 における移動距離は、大体、
f(0)とf(1)の平均 × 1秒
 =(f(0)+f(1))/2 × 1秒
です。
同様にt=1~2 における移動距離は、大体、
f(1)とf(2)の平均 × 1秒
 =(f(1)+f(2))/2 × 1秒
です。
同様にt=2~3 における移動距離は、大体、
f(2)とf(3)の平均 × 1秒
 =(f(2)+f(3))/2 × 1秒
です。
・・・・・

一方、
グラフで、1秒ごとに縦線を引いて、グラフを、縦に細長い短冊に分けます。
すると、
t=0~1の部分の短冊の面積は、
底辺をt=0~1、高さをf(0)とf(1)の平均にした長方形(てっぺんの辺の部分だけ若干直線でないが、あまり気にしない)の面積になります。
t=1~2の部分の短冊の面積は、
底辺をt=1~2、高さをf(1)とf(2)の平均にした長方形の面積になります。
t=2~3の部分の短冊の面積は、
底辺をt=2~3、高さをf(2)とf(3)の平均にした長方形の面積になります。
・・・・・

以上のことから、移動距離(の合計)は短冊の面積の合計と同じであることがわかったかと思います。

ここで、時刻の区間の幅を1秒より細かくしていくことを考えます。
細かくするたびに、移動距離、面積の計算結果は精密になっていきます。

tの区間をΔtと置けば、
1つの短冊の面積 = Δtだけ経過する間の移動距離Δx
  = (f(t)+f(t+Δt))/2・Δt
(Δtが非常に小さければ、f(t)≒f(t+Δt)とできるので)
  = f(t)・Δt = v・Δt

Δx = v・Δt
これが瞬間的な移動距離です。

これを
dx = v・dt
∫1・dx = ∫v・dt
x = ∫v・dt
と書き換えれば、いつの間にやら、短冊の面積を合計することと、vをtで積分することが同じである、ということになってきました。

そして、
v = Δx/Δt
とも書けます。
これが、ある時刻における瞬間的な速さです。

ここで、
v = dx/dt
と書くと、xをtで微分したものがvであることがわかります。
つまり、
「グラフの面積をtで微分したものがvなのだから、
 v-tのグラフの面積が移動距離xになる」
ということになりました。


以上、ご参考に。

こんばんは。

はい。私も高校の頃、なぜなのかわからず、もやもやとしていました。
#1様がおっしゃるとおり、積分と深い関係があります・・・・・というか、積分そのものです。
高校では、物理で微積分を利用しないですからね。
私は大学に入って、微積分を使う物理を学んでから、頭の中の霧が晴れました。

まず、等加速度直線運動を、微積分を使って説明します。
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となるハズですが、ちょうど加速度が変化する点で、変位を表すグラフがつながるように作図するには、何か決まったルールがあるのでしょうか?

宜しくお願い致します。

Aベストアンサー

#2です。

もうひとつ見落としていました。
「時刻:t」も修正が必要です。

x2= x(0.5)+ 5(t-0.5)
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その加速度が作用している「時間」にしなければいけません。
先の積分で T0→Tとしているのも、T-T0の「時間」だけを考えていることになります。

失礼しました。^^;

Q【サイエンス】を 見る限り 変人=物理学者がいる。 物理学者は 数字で あらゆる 物質を 徹底的に探

【サイエンス】を 見る限り
変人=物理学者がいる。
物理学者は 数字で あらゆる 物質を 徹底的に探求する。
天文学者でさへ 【宇宙の果て】でさへ 解明していない。
物理学者は物質は 全て 【素粒子】で 出来ていると解明。

なら
本題 【麻原彰晃】が 宙に 浮いて見せた。

オウム信者は 彼の 何に 共鳴して 周りの 科学者や医者は 無能なの??

物理学者や天文学者からみたら 宙に 浮くとか 宇宙人やUFOが いても 何でもありのようにしか 感じないけど。

【宇宙の果て 】 【素粒子】から みたら。

Aベストアンサー

人間もまだその程度ということですよ。

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Q高校数学 ベクトルという概念が分かりません。

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ご回答宜しくお願いします!<(_ _)>

Aベストアンサー

デカルトの発想法で非常に重要な考え方です。
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どこかで見た覚えがある図だな・・・って思って、蔵書を探したら見つけましたので、説明しますね(^^)
問題では、「物体Aが転倒を起こし始めた。その加速度の大きさは・・・」となっていますね(-_-)
つまり、「起こし”始めた”」ときの加速度の大きさを求めるんです(^o^)
ですから、この問題で言っている「転倒」を起こし”始めた”ときは、すなわち、「すべり・離れ」を起こし”始める”ときです(^^)
起こし”始めた”ときですから、ギリギリ(ア)のつり合いの式が成り立ちますので、
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題意から言えば、物体Aが地盤Bから離れた”瞬間”って事ですね(^^)

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(ア)で求めたT,Nの式のmgを見...続きを読む

Q剛体の運動の問題についてわからないです。

次の問題を教えてください。
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2)衝突直後の球の回転角速度ω1を、衝突直後のx軸方向の速度vx1を用いて表してください。
3)衝突直後の球のx軸方向の速度vx1およびω1を求めよ。
4)衝突直後に床に対して垂直に跳ね返るときのω0を求めよ。
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2)ω1=vx1/a
3)vx1=v0だと思いました。この問題を教えてください。

Aベストアンサー

3)球が床に落ちて、はね返るという現象は一瞬にみえますが、実は非常に短いが0ではない時間τの間の
現象ととらえられます。そして1)2)で導いた式は、この微小時間内で成立つ関係式です。
そこでまず、
max=Fx  の両辺を0からτまで積分します。
すると、ax=dvx/dt より左辺はmvx1-mv0 となり、右辺は∫Fxdt なので
mvx1-mv0=∫Fxdt・・・① となります。これは運動量の変化は力積に等しいというやつです。
つぎに、
 Iω'=aFx の両辺を0からτまで積分しますと、
ω'=dω/dt なので、左辺は Iω1-IIω0、右辺は、a∫Fxdtなので
Iω1-IIω0=a∫Fxdt・・・② が出てきます。
①②から∫Fxdtを消去して、2)で出した vx1=-aω1 と連立させれば
3)の答えが出てきます。そして3)で得たvx1を①の左辺に代入すると
∫Fxdt=-mI(aω0+v0)/(I+ma²) となって∫Fxdt<0、Fx<0 となって確かに摩擦力は
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Qなぜイがガラス管から一番勢いよく水が噴き出すのですか? 小6の問題です。わかりやすく解説おねがいしま

なぜイがガラス管から一番勢いよく水が噴き出すのですか?
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(ア)はガラス管が水に届いていないので、そもそも水は吹き出さない。

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