No.5
- 回答日時:
点で取るとわかりにくいから区間で取ってみるとか…
恒等的に等しくないということなので、
[a,b]においてf<gとなる[a',b']が存在する(a≦a'<b'≦b)
このとき ∫[a'→b']f(x)dx<∫[a'→b']g(x)dx
連続性から
∫[a→b]g(x)dx -∫[a→b]f(x)dx
=∫[a→a']g(x)dx +∫[a'→b']g(x)dx +∫[b'→b]g(x)dx
-{∫[a→a']f(x)dx +∫[a'→b']f(x)dx +∫[b'→b]f(x)dx}
=∫[a→a']g(x)dx -∫[a→a']f(x)dx (≧0)
+∫[a'→b']g(x)dx -∫[a'→b']f(x)dx (>0)
+∫[b'→b]g(x)dx -∫[b'→b]f(x)dx (≧0)
>0
問題はいきなり区間を取ってよかったかどうかですね。
No.1の方のようにcをとって、それを含む[a',b'] (a'<c<b')
を決めたほうが良かったのかな?
現役を離れて大分経つので、その辺は忘れてしまいました(^^;
No.4
- 回答日時:
#2です。
ちょっと修正を。
>積分領域を(x0-δ,x0+δ)∩[a,b]とそれ以外に切り分け、前者の領域での積分の値はとある正の値より大きくなります。後者が0以上であることは証明できているわけですからこの積分の値は0とはなり得ないことが示されます。
ここで出てくる"積分の値"は"積分の値の差"です。
もしくは事前に∫[a→b](g(x)-f(x))dxについての議論に変えてしまってもよいでしょう。
No.3
- 回答日時:
#2です。
いきなり最初で入力ミスがありました。
g(x)-f(x)=c>0
となるx0∈[a,b]が存在すると仮定して矛盾を導けばよいのではないでしょうか。
一行目の式は
g(x0)-f(x0)=c>0
の間違いです。
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
g(x)-f(x)=c>0
となるx0∈[a,b]が存在すると仮定して矛盾を導けばよいのではないでしょうか。
f(x),g(x)の連続性から(x0-δ,x0+δ)∩[a,b]の領域内のxでg(x)-f(x)>c/2が成り立つδが存在します。
積分領域を(x0-δ,x0+δ)∩[a,b]とそれ以外に切り分け、前者の領域での積分の値はとある正の値より大きくなります。後者が0以上であることは証明できているわけですからこの積分の値は0とはなり得ないことが示されます。
こんな感じではないでしょうか。
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