中学２年連立方程式の基礎についての説明

Question

中学２年の娘から突然、連立方程式の基礎について質問されました。娘は数学がかなり苦手です。

添付した画像の波線部です。「どうして②に代入してもいいの？」と質問されました。

「当たり前のこと！！」と思ったのですが、説明の言葉が出てきませんでした。

どのように説明するのがベストなのでしょうか？？？

springside · Accepted Answer

xとyは、①と②の両方とも満たしている(成立させなければならない)。←「両方とも」ということが大事。

「両方とも」だから、①でも②でも、好きな方を選んでいい。
(もちろん、計算が楽になるような式を選んだ方が、速いし、間違いが少ない)

fxq11011 · Answer

ｙ＝１
①に代入しても、②に代入しても、未知数ｙはなくなり、ｘだけになります。
①に代入するほうがひと手間省けるだけです。

sc348253 · Answer

私も、子供の大学受験の為に、35年忘れていた数学3を2-3ヶ月程勉強して思い出しました。今では、大学1年くらいでしたら、わかり、ベクトルの外積や行列式の連立方程式のクラーメルの公式、サラス展開や行列の回転行列からの三角関数の加法定理の公式や差分、部分和分法による数列への和への応用、から、鶴亀算や旅人算までも理解できるようになりました。子供の勉強がなければ、思い出すこともなかったかもしれませんね！話はさておき、
今、大学生の子供によると、チャート式高校数学参考書によると、
ビジュアル的に説明がなされているとのこと！つまり、

方程式をとくとは、
直線 x+y=3     …(1)
直線 2x+5y=9 …(2)
との交点を求めるということ！それは、つまり

(1),(2)のx,yの値は同じであり、同じ値のx,yを求めるということ！ということ！
だから、(1)から変形した(3)を(2)のxまたはyに代入しても問題なく同値として扱えれる。
そして、その合成した式を整理して、
(1),(2)を通り、x軸またはy軸に平行または垂直な直線と、
x軸または、y軸との交点を求めると理解しましたが、
詳しくは、私の嫌いなチャート式を参照ください！まー、
係数比較法が、傾き、切片？から……？と今度はわかりにくいですね！
別解釈としてご参考にしてください！

sc348253 · Answer

方程式を解くとは、この場合
直線 x+y=3   …(1)
直線 2x+5y=9  …(2)
の交点を求めること！
(1)より、移項して
x=ーy+3   …(3)
が、同値というのは、理解しているね！
だから、同じ考えでいいんだよ！つまり、代入と考えずに
移項やスカラー倍していくと考えれば良い！つまり
(3)より、まず、
両辺を2倍しましょう！
2x=2(ーy+3)
次に、両辺に5yを足しましょう！
2x+5y=2(ーy+3)+5y
ここで、左辺は、(2)より
2(ーy+3)+5y=9  となり
貴方が書いている
(3)を(2)に代入  の次と同じになる！
つまり、移項だって、反対側に持って行く時に、
符号を変えて移動しているんだよね！
一見したら、おかしいよね！
でも、同じ数等を四則演算していると理解していれば、
簡便な方法として、認知し理解しているよね！
それと同じだよね！
では、何故、貴方は、そのことに気づかなかったのか？
そして、私(59歳)は、気がついたか！
その違いは何か？
それは、おそらく、数学という学問への考え方にあるでしょう！つまり、
貴方は、暗記中心？  私は、理解中心、つまり、暗記の出来ない私は、
基本概念から公式を作るからかもしれませんね！
そこが、文系？理系数学の違いでしょうね！

t_fumiaki · Answer

数学の=は「左辺と右辺は全く同じもの」と言う意味ですから。
Y=1なら「Yは1と同じ」といってるので、①のYが1で有っても良い、と言う事ですね。

数学では無いですが、100円玉枚=50円玉2枚（=は価値の意味)

100円玉2枚のうち、1枚を50円玉2枚に（代入)すると
100円玉2枚=100円玉１枚 + 50円玉2枚

sasa-san · Answer

代入することに抵抗があるのなら、
②から①を引き算してみるのはどうでしょう。

①の全体を2倍すると　2x+2y=6
これを②から引いてみます
左辺は左辺を、右辺は右辺を引くことに注意して

2x+5y -(2x+2y) = 9 - 6
2x+5y -2x-2y = 9 - 6
2x-2x +5y-2y = 9 - 6
3y = 3
y = 1

次に①の全体を5倍して　5x+5y=15
これを②から引いて、

2x+5y -(5x+5y) = 9 - 15
2x+5y -5x-5y = 9 - 15
2x-5x +5y-5y = 9 - 15
-3x = -6
x = 2

連立方程式の解答　x=2、y=1　が求められました。

このように別の手順も用意して、
代入しても最終的に解答が同じになるということを
説明したほうが良いでしょうね。

hisya · Answer

連立方程式
Ｘ＋Y=3　　・・ ①
2X＋５ｙ＝９・・②
連立方程式では①と②のＸとＹが同じ値だと説明して下さい。
Ｙの値が分かればＹの値を①と②にどちらに代入しても
Ｘは同じ値なのでそれを解けば同じＸの値が求められる。

ドラママ · Answer

Yは計算で１だとわかったので、後はXを求めるだけです。
①も②もXとYがある等式（＝の両辺が同じ）なので、Yに１を代入すればどちらの式でも残る文字はXだけです。
ですので、どちらの式に代入してもXが求められます。

X=２と出たので、①と②の式にX=2、Y=１を置き換えて検算すると等式が成り立つのでわかりやすいでしょう。

あめあがり · Answer

どちらに代入しても、答はかわりません。
が、①に代入した方が簡単（Xが1）なので①に代入するのです。

ShowMeHow · Answer

①の式を満たす点を集めたものをグラフで書きます。
⓶の式を満たすものを集めたものをグラフに書きます。

①と⓶を同時に満たすものはグラフが交わった点だけです。
その点を求めるために、代入などの方法を使います。

中学２年 連立方程式の基礎についての説明

xとyは、①と②の両方とも満たしている(成立させなければならない)。

ｙ＝１

私も、子供の大学受験の為に、35年忘れていた数学3を2-3ヶ月程勉強して思い出しました。

方程式を解くとは、この場合

数学の=は「左辺と右辺は全く同じもの」と言う意味ですから。

代入することに抵抗があるのなら、

連立方程式

Yは計算で１だとわかったので、後はXを求めるだけです。

どちらに代入しても、答はかわりません。

①の式を満たす点を集めたものをグラフで書きます。

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