電磁気についての質問です。 分からない問題があったのでご教示いただきたいです。 // 写真のように、

電磁気についての質問です。
分からない問題があったのでご教示いただきたいです。
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写真のように、半径aの導体球Aがあり、その周りにAと中心Oを共有する内半径2a、外半径3aの導体球殻B、および内半径4a、外半径5aの導体球殻Cがある。AB間、BC間、およびCの外側は真空で、誘電率はε0である。

A、Bにそれぞれ正電荷+Qを与える。Oからの距離rでの電界の大きさをE(r)、電位をV(r)とする。ただし、無限遠点での電位を0とする。

⑴Bの表面r=2a(ⅰ)、およびr=3a(ⅱ)に現れる電荷を答えよ。

⑵AB間(ⅰ)のE(r)、およびBC間(ⅱ)のE(r)を求めよ。

⑶BC間(ⅰ)のV(r)、およびAB間(ⅱ)のV(r)を求めよ。

⑷A、B、C全系に蓄えられた静電エネルギーを求めよ。

次にAには正電荷+Qを与えたまま、Bは接地したとする。
⑸A、B、C全系に蓄えられている静電エネルギーを求めよ。

⑹このときBの表面r=2a(ⅰ)およびr=3a(ⅱ)に現れる電荷を答えよ。
//

⑴(ⅰ)+Q
(ⅱ)0

⑵(ⅰ)E(r)=Q/4Πε0r
(ⅱ)E(r)=2Q/4Πε0r

⑶？

⑷⑶の答えを使って1/2*QVを求めてたす？

⑸A:+Q
B:0
C:+Q

⑹(ⅰ)+Q
(ⅱ)0

以上のように考えてみましたが、全部不安です。
⑴(ⅱ)は導体だから0かなと思いましたが、表面には電荷がある気がします。
⑵(ⅱ)は導体が２つあるので2Qとしましたが、そんなことしていいのでしょうか？
⑶V=kQ/rを使うのかなと思いましたが、kが定義されていないので、わかりませんでした。積分を使いますか？
⑷〜⑹はとりあえず考えてみた程度で全くわかりませんでした。

長くなりましたが、よろしくお願い致します。

質問者からの補足コメント

• 回答者様の解説を参考にして再度解いてみました。
  あっているかご教示頂ければ幸いです。
  
  (1)(ⅰ)-Q
  (ⅱ)+2Q
  (2)(ⅰ)E(r)=Q/4πε0r^2
  (ⅱ)E(r)=2Q/4πε0r^2=Q/2πε0r^2
  (3)(ⅰ)V(r)=∫[r:r→∞]E(r)dr
  =∫[r:r→4a]E(r)(ⅱ)dr+∫[r:5a→∞]E(r)(ⅱ)dr
  =Q/2πε0*(1/r-1/20a)
  (ⅱ)V(r)=∫[r:r→∞]E(r)dr
  　　　　　 =∫[r:r→2a]E(r)(ⅰ)dr+∫[r:3a→4a]E(r)(ⅱ)dr+∫[r:5a→∞]E(r)(ⅱ)dr
  =Q/4πε0*(1/r+1/15a)
  文字数が足りなくなったので(4)~(6)は次の補足に記載します。

    補足日時：2017/06/11 11:40

• 続き
  (4)U=ε0/2∫E(r)^2*4πr^2dr
  =ε0/2{∫[r:a→2a]E(r)(ⅰ)^2*4πr^2dr+∫[r:3a→4a]E(r)(ⅱ)^2*4πr^2dr+∫[r:5a→∞]E(r)(ⅱ)^2*4πr^2dr}
  =49Q^2/8πε0
  
  (5)U=ε0/2∫E(r)^2*4πr^2dr
  =ε0/2∫[r:a→∞]E(r)(ⅰ)^2*4πr^2dr
  =Q^2/8πε0a
  
  (6)(ⅰ)-Q
  (ⅱ)+Q
  
  このように考えました。
  長くて読みづらいと思いますが、何卒よろしくお願いいたします。

    補足日時：2017/06/11 11:47

No.1 ベストアンサー 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/06/11 08:05

先ず(1)から違う。

ガウスの法則の意味を理解していないようですね。

r=(5/3)aの球面(導体Bの中)に対してガウスの法則を適応して見ましょう。
この球面上においては導体中ですので電界は"0"となります。
ということはこの面で囲まれた球の内部の電荷の総量は"0"となります。

この球内には導体Aの持つ電荷+Qがありますので導体Bの内側の表面にはそれを打ち消す電荷-Qが誘起されます。
導体Bの持つ総電荷量は+Qですので、導体Bの外側表面には+2Qの電荷が現れます。

(2)はこれでOK.
これもガウスの法則を使えば簡単です。
半径rの球内の電荷量をq、これが球対称に分布しているとすると電界E(r)は
4πr^2*E(r)=q/εo
となります。左辺は電界の大きさ*球の表面積、左辺が電荷/誘電率となります。

(3)これを計算するためにはCの外側での電界が必要です。
これもガウスの法則を使えば簡単です。

このように得られたE(r)を使い
V(r)=-∫[r:∞→r] E(r') dr'
とすれば電位V(r)が得られます。これくらいの計算は自分でやってみましょう。

(4)これは質問者のおっしゃるとおり。(3)ができないとどうしようもありません。

(5)Bの電位は"0"だからBの持つ静電エネルギーは"0"です。
Cの持つ電荷は"0"だからCの持つ静電エネルギーは"0"です。
後はAの持つ静電エネルギーを求めればよいことになります。
Aの電位を計算しましょう。Bの電位が"0"であることから簡単に計算できるでしょう。

(6)r=2aについては簡単。(1)と同様に考えればよい。
r=3aについてはCに電荷がないため簡単にわかるのですが、Cに電荷がある場合でも解けるように少し難しい解き方をして見ましょう。

Cに電荷がある場合、Bの電位が"0"になるようにBの総電荷量を決めます。
Bの総電荷をQ1,Cの総電荷をQ2とするとB-C間、Cの外での電界E(r)は次のようになります。

E(r)=(Q+Q1)/(4πεo) (B-C間)
E(r)=(Q+Q1+Q2)/4πεo) (Cの外)

このE(r)を用い、Bの電位を計算しそれが"0"となるようにQ1を決めます。Q1のうち-Qは内側に誘起されるため残りのQ1+Qが外側に出てくる電荷となります。

この回答へのお礼

丁寧に解説していただき、ありがとうございます。
もう一度解いてみて補足として記載いたしましたので、よろしければ再度ご教示頂きたく存じます。
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2017/06/11 11:50

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/06/12 07:32

#3です。

>ε0/2*∬∫E^2dvと1/2QVはどのように使い分けたらいいのでしょうか？
計算しやすいほうを使えばよい。
ついでに言うとたぶん補足にある(5)の答えは間違っている。
積分がa→∞となっているがr>2aでE(r)=0となるためa→2aでの積分となり値は半分になる。
電位を計算する際も2a→aで考えればよい。(Bが接地されているため)

この回答へのお礼

何度もありがとうございました。

お礼日時：2017/06/12 20:19

No.3 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/06/11 21:54

#1です。

補足の回答について、明らかに間違っているものを指摘しておきます。
一番最後の答えは間違いです。
内側の面に出てくる電荷は-Qで間違いありません。
接地した導体の総電荷量は別に"0"になる必要はありません。
電位が"0"になりさえすればよいのです。
もしここに+q(≠0)の電荷があると、Cの内側に-qの電荷が現れ外側に+qの電荷が現れます。
するとB-C間,Cの外に電界が同じ向きに発生し、結果としてBの電位が"0"になりません。
つまり、Bの外側に出てくる電荷は"0"でなければならないのです。

あと、(4),(5)は少々面倒な計算をしていますね。
まあ、これでも問題はありませんが、(1/2)ΣVi*Qiを素直に計算すればよいだけです。

この回答へのお礼

再度ご回答くださり、大変ありがとうございます。
とても分かりやすくすっきりしました。
⑷⑸についてですが、
ε0/2*∬∫E^2dvと1/2QVはどのように使い分けたらいいのでしょうか？

お礼日時：2017/06/11 22:15

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/06/11 10:48

(1)が(i) -Q, (ii)2Q と即座に答えられないと話になりません。

静電誘導の基本にもどりましょう。

1 Cの電荷から発した電束は-1 C の電荷に終端します。
Aの表面には電荷Qがいるわけですから、球殼Bの内側には
Aの表面電荷Qの電束を受け止める-Qが必要です。

電束(電気力線)は無限遠に消えるか、プラスの電荷から出て、
マイナスの電荷で終るしかないのです。

球殼Bの合計電荷はQですから、球殼Bの外側表面にはQ3の
電荷があるとすると
Q3+(-Q)=Q
従ってQ3=2Qです。つまり球殼Bは外から見ると2Qの電荷を持つ
球に見えます。球殼Cも同様で、内側には-2Q、外側には2Qの表面電荷
となり、外からは電荷2Qを持つ球に見えます。

静電誘導の電束のイメージができてないとガウスの法則も
へったくれもありませんから、まずはゆっくりと復習して下さい。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます。
静電誘導から復習しようと思います。
再度取り組み、補足として記載いたしましたので、もしよろしければ採点していただければ幸いです。
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2017/06/11 11:54