No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1さんのように、Pは、最初(0,2R)にあって、円C2は右に回っていくものとします。
点Pの軌跡は判るとのことですが、この設定の場合、Pの座標は、(3 R sinθ - R sin3θ, 3 R cosθ - R cos3θ)になりますが、大丈夫でしょうか。
求める面積をSとすると、図の対称性(第一象限部分のみを考えて、後で4倍すればいい)を踏まえると、
S/4 = ∫[x:0→2R]xdy
となります。で、積分変数をxからθに置換することを考えると、
x:0→2Rはθ:π/2→0ということで、また、xdy = x(dy/dθ)dθなので、dy/dθ=-3 R sinθ+3 R sin3θであることを踏まえると、結局、
S/4=∫[θ:π/2→0](3 R sinθ - R sin3θ)(-3 R sinθ+3 R sin3θ)dθ
=3 R^2 ∫[θ:0→π/2](3 sinθ - sin3θ)(sinθ - sin3θ)dθ
=3 R^2 ∫[θ:0→π/2](sin^2 3θ - 4 sinθsin3θ + 3 sin^2 θ)dθ
=3 R^2 π [←この定積分の計算は単純計算なので省略します]
∴S=12πR^2
ポイントは、面積は xdy の積分(長方形の面積であるx⊿yを寄せ集めるイメージ)で求められるので、それをθの積分に置換することです。
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