4点a,b,c,dが球面s上にあり、次の条件をみたしている。 1.3点a,b,cを通る円の中心をpと

4点a,b,c,dが球面s上にあり、次の条件をみたしている。
1.3点a,b,cを通る円の中心をpとするとき、線分dpはこの円に垂直である

2.AB=2,AC=3,AD=4,BC=√7
このとき次の値を求めよ。

①ABCの面積
②APの長さ
③四面体ABCDの体積
④Sの半径

よろしくお願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： ゼロプライム 回答日時： 2019/12/03 22:48

① ヘロンの公式を利用します。

S=√{s(s-a)(s-b)(s-c)}
s=(a+b+c)/2

s=(√7+3+2)/2
S=√{√7+3+2)/2(√7+3+2)/2-√7)(√7+3+2)/2-3)(√7+3+2)/2-2)}
=√{5+√7)/2}{(5-√7)/2)}{(√7-1)/2}{(√7+1)/2}
=√{(25-7)(7-1)/16}
=(3√3)/2

② APは△ABCの外接円の半径
正弦定理により、BC/sin A=2AP……[1]
余弦定理により、BC²＝AB²+AC²－２AB・AC・cos A
√7²＝２²+３²－２・２・３・cos A
7=4+9-12 cosA
cos A=1/2
A=60°より、sin A=√3/2
[1] に代入して、
√7/(√3/2)=2AP
AP=√21/3

③ 四面体ABCDの体積は、△ABCを底面とするとDPが高さ。
△DAPは、∠DPA＝90°の直角三角形なので、
AD²＝DP²+AP²
４²＝DP²+(√21/3)²
16=DP²+7/3
DP=√123/3

四面体ABCDの体積は、(3√3)/2×√123/3×(1/3)=√41/2

④ 球の中心をO、球の半径をｒとすると、
OP＝OD－DP＝ｒ－√123/3

△OPAは、∠OPA＝90°の直角三角形
OA²＝OP²+AP²
ｒ²＝(ｒ－√123/3)²+(√21/3)²
ｒ²＝ｒ²－２√123/3ｒ+123/9+21/9
２√123/3ｒ＝16
r=(8√123)/41

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2019/12/04 10:05