三角関数の合成について。 2cosθ-sinθを合成すると、√5cos{θ-(-α)}となるのは分か

三角関数の合成について。
2cosθ-sinθを合成すると、√5cos{θ-(-α)}となるのは分かります。でもこのときのcosα、sinαがいまいち分かりません。というのはαを-αと考えるかαと考えるかが分かりません。cosαは−だろうと変わらないので2/√5というのは答えは同じだと思うのですが、sinαは1/√5なのか、-1/√5なのか。
回答お願いします。

質問者からの補足コメント

• 考えたのですが、-1/√5になるでしょうか

    補足日時：2017/07/06 18:01

• (θ+α)にして、αは単純に角度だから第一象限で考えて1/√5でしょうか。

    補足日時：2017/07/06 18:09

• 問題はこれです…
  今からまずお二人の助言の方法をやってみます。

  
    補足日時：2017/07/06 22:39

• 加法定理で解くことはたぶんできました！
  yhr2さんの方法ができないと解けないっぽいです。

    補足日時：2017/07/06 22:55

• 解けました！
  みなさんありがとうございました！

    補足日時：2017/07/06 23:03

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/07/06 17:36

どうして「2cosθ-sinθを合成すると、√5cos{θ-(-α)}となる」のか, 根本に立ち戻って考えてみたら?

No.2 ベストアンサー 回答者： springside 回答日時： 2017/07/06 20:40

なぜ、根本に立ち返って考えないの？

2cosθ - sinθ
=√5 (2/√5 cosθ - 1/√5 sinθ)
=√5 (cosα cosθ - sinα sinθ)　ただし、cosα=2/√5、sinα=1/√5

ここで、cosの加法定理を（逆に）使うとどうなるか？→考えてみたら？

そして、
　・なぜそのように変形できるのか？(cosの加法定理との関係は？)
　・そのように変形したときにαはどういう角度なのか？(αのsinとcosはどうなっているのか？）

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2017/07/06 20:55

＞2cosθ-sinθを合成すると、√5cos{θ-(-α)}となるのは分かります。

本当にわかっていますか？
　cos(θ + α) = cos(θ)*cos(α) - sin(θ)*sin(α)
ですから
　2cos(θ) - sin(θ) = Acos(θ + α)
と表わすには
　A*cos(α)=2, A*sin(α)=1
ということですよね？

条件として　0<α<パイ　という条件を付ければ、A≧0　なので
　sin²(α) + cos²(α) = 1
より A = √5 で
　2cos(θ) - sin(θ) = √5cos(θ + α)
となります。つまり
　cos(α)=2/√5, sin(α)=1/√5
ということになります。


一般に、0≦α<2パイ とする場合には
　sin²(α) + cos²(α) = 1
なので
　(1/A)² + (2/A)² = 1
つまり
　5 = A²
　A = ±√5

つまり
A=+√5　のとき
　cos(α)=2/√5, sin(α)=1/√5　→ 0<α<パイ/2
A=-√5　のとき
　cos(α)=-2/√5, sin(α)=-1/√5　→ パイ<α<(3/2)パイ
ということです。

α をどの範囲にするかは、自分で決めればよいだけの話です。