微分法の問題 解けないので解説お願いします

f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh) (0<θ<1)において、lim[h→0]θ=1/2を証明せよ

式変形で導関数の形には持ってけるのですが、そこからどうすればいいのか、そもそも導関数にする必要があるのか分からないです。そこらへんも解説お願いします。

質問者からの補足コメント

• 条件を書き忘れてました。申し訳ないです。
  「x=aの近傍でC^2級、f''(x)≠0」
  です。

    補足日時：2017/07/07 11:34

No.2 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2017/07/07 01:32

f"(x)がx→aで連続でf"(a)≠0を仮定してよいならば・・、

f'(a+θh)に平均値定理をもう一回利用してみたりする・・!

f'(a+θh)=f'(a)+θhf"(a+φθh)　　(0<φ<1)

f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh)に代入して
f(a+h)
= f(a)+h(f'(a)+θhf"(a+φθh))
= f(a)+hf'(a)+θh^2・f"(a+φθh)

一方でf(a+h)のテーラー展開の2次の項まで考えると
f(a+h)=f(a)+hf'(a)+h^2/2・f"(a+φ0θh)　　(0<φ0<1)
h^2の項を比較して
θh^2・f"(a+φθh)=h^2/2・f"(a+φ0θh)
∴θ=1/2・f"(a+φ0θh)/f"(a+φθh)
ここでh→0とすれば
lim(h→0)θ = 1/2・f"(a)/f"(a) = 1/2

この回答へのお礼

ありがとうございました。
丁寧な解説、大変助かりました。

お礼日時：2017/07/10 17:58

No.1 回答者： クソgooは死ね 回答日時： 2017/07/06 22:58

>f(a+h)=f(a)+hf'(a+θh) (0<θ<1)において、lim[h→0]θ=1/2を証明せよ

これだけでは情報不足というか, 意味が伝わりません.
f がどのような函数であるかなど, もっと詳しく書いてください.

とはいえ, 貴方が本当に書きたかったであろう命題を推測して, 真偽を考えてみました.
明らかに偽ですね.
真にしたければ, いろいろと細かい条件を付け加える必要があります.

自力で証明できないってだけでも困ったことなのに, 問題を正しく書き写すことすらできないのでは, もはや何と言うか...