xの2次方程式 x^2-mnx+m+n=0 (m,nは自然数) で2つの解がともに整数となるのはいくつあるか

「高校数学整数問題 至急」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    t_fumiakiさん、

    はじめまして、ご回答有難うございます。

    本問の正解は、3つなのですが、それは、(5,1)、(1,5)は同じ組と考えるからでしょうか。

    宜しく御願いします。

    minamino

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/07/15 07:13
  • どう思う?

    私の答案です、

    http://imgur.com/a/O2wM8

    ただしいものか、ご判断、ご指摘を御願いします。

    minamino

      補足日時:2017/07/15 11:29
  • どう思う?

    与えられた2次方程式の数ですかね、

    私の答案です、

    http://imgur.com/a/O2wM8

    ただしいものか、ご判断、ご指摘を御願いします。

    minamino

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/07/15 11:31

A 回答 (4件)

整数解をx=a,bとする。

但し、a≦bと仮定。

解と係数の関係から
a+b=mn …①
ab=m+n …②

m,nが自然数なので
ab≧2 …③

ここでトリッキーだけど、(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=a+b-ab+1
=-(a-1)(b-1)+2 …④

m,nは自然数なので、m-1≧0かつn-1≧0。

∴0≦(m-1)(n-1)=-(a-1)(b-1)+2

∴(a-1)(b-1)≦2 …⑤

③かつ⑤を解く。

1.a>0(の整数)の場合
a≧1なので、③よりb≧2/a 。
従って、⑤を満たす(a,b)は下記i~iiiのいずれか。

i (a=1)かつ(b≧2)
ii (a=2)かつ(3≧b≧1)
iii (a=3)かつ(2≧b≧1)

iの場合、④より(m-1)(n-1)=2となるので、
(m,n)=(3,2)(2,3)となるけど、①②より
1+b=mn=6
b=m+n=5
となるので、b=5に決まり。

iiの場合、
a≦bを満たす解は(a,b)=(2,2)(2,3)。
(a,b)=(2,2)の時、④より(m-1)(n-1)=1となるので、
(m,n)=(2,2)。

一方、(a,b)=(2,3)の時、④より(m-1)(n-1)=0となるので
m=1またはn=1。
また、①②より
5=mn
6=m+n
なので、(m,n)=(5,1)(1,5)。

iiiの場合、
a≦bを満たす解は無し。

2.a=0の場合
③を満たさないので不適。

3.a<0(の整数)の場合
a≦-1(a-1≦-2)なので、③よりb≦2/a <0。
∴b-1 <-1。
∴(a-1)(b-1)>2
これは⑤を満たさないので不適。

以上より、
(m,n)=(5,1)(3,2)(2,2)(2,3)(1,5)
この回答への補足あり
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>>私の答案です


正しいです。
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この回答へのお礼

t_fumiaki さん。

最後まで、お付き合い頂き、心から感謝致します。

minamino

お礼日時:2017/07/15 12:22

>>本問の正解は、3つなのですが、それは、(5,1)、(1,5)は同じ組と考えるからでしょうか。



(2,3),(3,2)も同じと考えてるようです。

組では無くm,nを聞いてるのなら5セット。

また、解の数を聞いてるのなら、1,2,3,5の4個。

元々の問題文が「mnのセットを聞いてるのか、解の個数を聞いてるのか、
mの個数+nの個数を聞いてるのか」、実に曖昧なんです。
この回答への補足あり
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2つの解をa,bとすると、


(x-a)(x-b)=0
x^2-(a+b)x+ab=0
これが、x^2-mnx+m+n=0 になるから、
a+b=mn ・・・・・ ①
ab=m+n ・・・・・ ②  (①、②は解と係数の関係を使ってもよい)
②-① より
ab-(a+b)=m+n-mn
ab-a-b=-(mn-m-n)
(a-1)(b-1)-1=-(m-1)(n-1)+1
(a-1)(b-1)+(m-1)(n-1)=2 ・・・・・ ③
m, n は自然数だから、①、②より 整数a, b は自然数になる。
よって、
(a-1)(b-1)≧0、(m-1)(n-1)≧0
これより、③を満たす (a-1)(b-1), (m-1)(n-1) の組は、
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(0, 2), (1, 1), (2, 0)
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(0, 2), のとき (a, b, m, n)=(1, 5, 2, 3), (1, 5, 3, 2), (5, 1, 2, 3), (5, 1, 3, 2) の4通り
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(1, 1), のとき (a, b, m, n)=(2, 2, 2, 2) の1通り
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(2, 0), のとき (a, b, m, n)=(2, 3, 1, 5), (2, 3, 5, 1), (3, 2, 1, 5), (3, 2, 5, 1) の4通り

したがって、
4+1+4=9 (通り)
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この回答へのお礼

guunagoona2015

ご回答有難うございます。
minamino

お礼日時:2017/07/15 07:10

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