アレルギー対策、自宅でできる効果的な方法とは?

xの2次方程式 x^2-mnx+m+n=0 (m,nは自然数) で2つの解がともに整数となるのはいくつあるか

「高校数学整数問題 至急」の質問画像

質問者からの補足コメント

  • うーん・・・

    t_fumiakiさん、

    はじめまして、ご回答有難うございます。

    本問の正解は、3つなのですが、それは、(5,1)、(1,5)は同じ組と考えるからでしょうか。

    宜しく御願いします。

    minamino

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/07/15 07:13
  • どう思う?

    私の答案です、

    http://imgur.com/a/O2wM8

    ただしいものか、ご判断、ご指摘を御願いします。

    minamino

      補足日時:2017/07/15 11:29
  • どう思う?

    与えられた2次方程式の数ですかね、

    私の答案です、

    http://imgur.com/a/O2wM8

    ただしいものか、ご判断、ご指摘を御願いします。

    minamino

    No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2017/07/15 11:31

A 回答 (4件)

整数解をx=a,bとする。

但し、a≦bと仮定。

解と係数の関係から
a+b=mn …①
ab=m+n …②

m,nが自然数なので
ab≧2 …③

ここでトリッキーだけど、(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1=a+b-ab+1
=-(a-1)(b-1)+2 …④

m,nは自然数なので、m-1≧0かつn-1≧0。

∴0≦(m-1)(n-1)=-(a-1)(b-1)+2

∴(a-1)(b-1)≦2 …⑤

③かつ⑤を解く。

1.a>0(の整数)の場合
a≧1なので、③よりb≧2/a 。
従って、⑤を満たす(a,b)は下記i~iiiのいずれか。

i (a=1)かつ(b≧2)
ii (a=2)かつ(3≧b≧1)
iii (a=3)かつ(2≧b≧1)

iの場合、④より(m-1)(n-1)=2となるので、
(m,n)=(3,2)(2,3)となるけど、①②より
1+b=mn=6
b=m+n=5
となるので、b=5に決まり。

iiの場合、
a≦bを満たす解は(a,b)=(2,2)(2,3)。
(a,b)=(2,2)の時、④より(m-1)(n-1)=1となるので、
(m,n)=(2,2)。

一方、(a,b)=(2,3)の時、④より(m-1)(n-1)=0となるので
m=1またはn=1。
また、①②より
5=mn
6=m+n
なので、(m,n)=(5,1)(1,5)。

iiiの場合、
a≦bを満たす解は無し。

2.a=0の場合
③を満たさないので不適。

3.a<0(の整数)の場合
a≦-1(a-1≦-2)なので、③よりb≦2/a <0。
∴b-1 <-1。
∴(a-1)(b-1)>2
これは⑤を満たさないので不適。

以上より、
(m,n)=(5,1)(3,2)(2,2)(2,3)(1,5)
この回答への補足あり
    • good
    • 1

>>私の答案です


正しいです。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

t_fumiaki さん。

最後まで、お付き合い頂き、心から感謝致します。

minamino

お礼日時:2017/07/15 12:22

>>本問の正解は、3つなのですが、それは、(5,1)、(1,5)は同じ組と考えるからでしょうか。



(2,3),(3,2)も同じと考えてるようです。

組では無くm,nを聞いてるのなら5セット。

また、解の数を聞いてるのなら、1,2,3,5の4個。

元々の問題文が「mnのセットを聞いてるのか、解の個数を聞いてるのか、
mの個数+nの個数を聞いてるのか」、実に曖昧なんです。
この回答への補足あり
    • good
    • 0

2つの解をa,bとすると、


(x-a)(x-b)=0
x^2-(a+b)x+ab=0
これが、x^2-mnx+m+n=0 になるから、
a+b=mn ・・・・・ ①
ab=m+n ・・・・・ ②  (①、②は解と係数の関係を使ってもよい)
②-① より
ab-(a+b)=m+n-mn
ab-a-b=-(mn-m-n)
(a-1)(b-1)-1=-(m-1)(n-1)+1
(a-1)(b-1)+(m-1)(n-1)=2 ・・・・・ ③
m, n は自然数だから、①、②より 整数a, b は自然数になる。
よって、
(a-1)(b-1)≧0、(m-1)(n-1)≧0
これより、③を満たす (a-1)(b-1), (m-1)(n-1) の組は、
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(0, 2), (1, 1), (2, 0)
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(0, 2), のとき (a, b, m, n)=(1, 5, 2, 3), (1, 5, 3, 2), (5, 1, 2, 3), (5, 1, 3, 2) の4通り
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(1, 1), のとき (a, b, m, n)=(2, 2, 2, 2) の1通り
((a-1)(b-1), (m-1)(n-1))=(2, 0), のとき (a, b, m, n)=(2, 3, 1, 5), (2, 3, 5, 1), (3, 2, 1, 5), (3, 2, 5, 1) の4通り

したがって、
4+1+4=9 (通り)
    • good
    • 0
この回答へのお礼

guunagoona2015

ご回答有難うございます。
minamino

お礼日時:2017/07/15 07:10

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q東北大 整数問題 過去問

東北大 整数問題 過去問

問題

http://imgur.com/a/1fSd9

何卒、宜しく御願い致します。

minamino

Aベストアンサー

とりあえず問題は分かった.

質問はなんでしょうか?

Q整数問題2 (難題問題集より)

整数問題2 (難題問題集より)

質問

3^n=k^2-40 を満たす正の整数の組(k,n)を全て求めよ

宜しく御願いします.

Aベストアンサー

nは偶数です。
nを奇数とすると、3ⁿ=(4-1)ⁿなので、展開式は定数項の位置が-1になります。
それによりk²は、4×整数+39という形となり、kは奇数。

また、逆にk=2m+1として与式に代入しても、左辺と右辺で、偶奇が一致しません。

なのでnは偶数。
で、nは整数aを用いて、n=2aとして、元の式に代入すると
3ⁿ=k²-40
3²ª=k²-40
(3ª)²=k²-40
k²-(3ª)²=40
(k+3ª)(k-3ª)=40 ①

k+3ª、k-3ªは整数なので、①を満たす(k+3ª,k-3ª)の組み合わせは、
掛けて40になる訳なので
=(40,1)(20,2)(10,4)(8,5) の4通りの可能性。

この中で、(40,1)(8,5)ではkが整数にならないので、
=(20,2)(10,4) の2通り ②

②をそれぞれ解けば結果が出ます。

(k+3ª,k-3ª)=(20,2)の時、
k=11
a=2、よりn=4

(k+3ª,k-3ª)==(10,4)のとき、
k=7
a=1、よりn=2


答え:(k,n)=(11,4)(7,2)

nは偶数です。
nを奇数とすると、3ⁿ=(4-1)ⁿなので、展開式は定数項の位置が-1になります。
それによりk²は、4×整数+39という形となり、kは奇数。

また、逆にk=2m+1として与式に代入しても、左辺と右辺で、偶奇が一致しません。

なのでnは偶数。
で、nは整数aを用いて、n=2aとして、元の式に代入すると
3ⁿ=k²-40
3²ª=k²-40
(3ª)²=k²-40
k²-(3ª)²=40
(k+3ª)(k-3ª)=40 ①

k+3ª、k-3ªは整数なので、①を満たす(k+3ª,k-3ª)の組み合わせは、
掛けて40になる訳なので
=(40,1)(20,2)(10,4)(8,5) の4通りの可能性。

この...続きを読む

Q111.1を8進数にすると

111.1を8進数にすると、答えが「717.03030303」となりましたが、これは、合っておりますか。

Aベストアンサー

21進数の「111.1」を一度10進数に置き換えると

111.1 (@21進数)
= 1 * 21^2 + 1 * 21^1 + 1 * 21^0 + 1* 21^(-1) (@10進数、以下同じ)
= 441 + 21 + 1 + 1/21
= 463 + 1/21

これを8進数に置き換えるために、8^n でくくり出してみると
(1)整数部分
 463 = 7 * 64 + 15
   = 7 * 8^2 + 1 * 8 + 7
   = 7 * 8^2 + 1 * 8^1 + 7 * 8^0

(2)小数部分
 1/21 = 0/8 + 3/64 + 1/(21 * 64)
    = 0/8 + 3/64 + 0/512 + 3/4096 + 1/(21 * 4096)
    = 0/8 + 3/64 + 0/512 + 3/4096 + 0/32768 + 3/262144 + 1/(21 * 262144)
 ・・・
このように、
 1/(21 * 8^n) = 3/8^(n+2) + 1/[21 * 8^(n+2)]
と表わされるので、小数部分は「.030303・・・」の循環小数となります。

(3)従って
 111.1 (@21進数) = 717.03030303・・・ (@8進数)
となります。

質問者さんがどうやって計算したのかは分かりませんが、結果は合っています。ただし、小数部分はその後も続く循環小数です。

21進数の「111.1」を一度10進数に置き換えると

111.1 (@21進数)
= 1 * 21^2 + 1 * 21^1 + 1 * 21^0 + 1* 21^(-1) (@10進数、以下同じ)
= 441 + 21 + 1 + 1/21
= 463 + 1/21

これを8進数に置き換えるために、8^n でくくり出してみると
(1)整数部分
 463 = 7 * 64 + 15
   = 7 * 8^2 + 1 * 8 + 7
   = 7 * 8^2 + 1 * 8^1 + 7 * 8^0

(2)小数部分
 1/21 = 0/8 + 3/64 + 1/(21 * 64)
    = 0/8 + 3/64 + 0/512 + 3/4096 + 1/(21 * 4096)
    = 0/8 + 3/64 + 0/512 + 3/4096 + 0/32768 + 3/2621...続きを読む

Q√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-6 この計算のどこがおかしいですか?

今高校数学2 複素数と二次方程式 の範囲を勉強しているのですが、
√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6  
この式のどこが間違っているのか分かりません!教えて下さい!
ご回答宜しくお願いします!

Aベストアンサー

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」とがOKなことと
「負の数の根号」×「負の数の根号」の“計算”が
今まで通りOKなことは違うということです。

つまり、根号の中身が負のときには
√a × √b = √ab 
とは計算してはいけないということ。

数学Ⅰの教科書を見てください。
性質★ a>0 b>0 のとき √a × √b = √ab
と書いてありますよね!

√6=√(-2)(-3)=√(-2)√(-3)=√2i√3i=-√6 

の計算式では左から2つめの=が誤っていて、それ以外の=は正しいです。
--------------------------------------------------

No4の回答について

> √(ー2)(ー3)=√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=√(ー1)²√2√3=√2√3=√6 だから。 ☆

2つ目の=と3つ目の=が計算の性質★に違反しています。

>この部分を√(ー1)√(2)√(ー1)√(3)=i√(2)i√(3)としてはダメな理由を教えて頂けませんか?
ダメでなく、正しいです。(これは自信を持ってください!)
でも数式☆では2つめの=がNGだから、√6とは等しくありませんね!

質問者は、多分、複素関数の話をしたいのではないと思います。
-----------------------------------------------
>素数という概念内では根号の中身が負になってもいいのかなと
>思っていたのですが、違うのですか?ご回答宜しくお願いします!

複素数まできちんと学んでいますね?
根号の中身は負で大丈夫です。自信をもってください。
これまでは根号の中身が負の数はNGでした。
これからは、根号の中身が負であってもOKです。
-------------------------------------------------
でも「負の数の根号」と...続きを読む

Q高校の数学の複素数平面って存在価値あるのですか? 別に習わなくても良くね?

高校の数学の複素数平面って存在価値あるのですか?
別に習わなくても良くね?

Aベストアンサー

複素数平面以外は、存在価値を見て解ているのですか?

三角関数、指数関数、対数なんかも同じでしょ。
ましてや、微分、積分なんて、いつ使う?

何にもしないあなたには、宝の持ちぐされです。

Q数学の実数の問題です。

こんばんは、ただいま数学の先生からの難題に頭を抱えています。
その答えを見つけるにあたり下記の解、またその証明方法が知りたいです。
中学生でもわかる証明法だといいです。

[2,3]と[2,10]において、どちらの区間がより多い実数を有しているか。

どちらも無限に続くので参っています。
ヒントだけでもよろしいので教えて下さいませんか。

*自分なりに一応考えてみました。
[2,3]の実数をx(∞)とする(仮定)       ・・・①
[2,10]の実数は[2,3]の8倍なので8x      ・・・②
①と②より、  x<8x
故に [2,3]<[2,10]
はじめはこれが正解だと思っていたのですが、見直したところ、どうにも安直な証明法なのでここに質問することにしました。

Aベストアンサー

濃度という意味で言えば同じですね。

小数点以下の桁数が限られていればあなたが考えた通りなのですが、
実際には桁数も無限なので、無限の実数を含むことになります。
無限なのだから当然個数で比較することはできません。
ですので、別の考え方が必要でしょう。


区間 [2,3] から、実数xを一つ取ります。
ここで変換式 8(x-2)+2 を適用すると
どんなxに対しても区間 [2,10] の実数になります。

逆に、区間 [2,10] から、実数yを一つ取り
変換式 (1/8)(y-2)+2 を適用すると
どんなyに対しても区間 [2,3] の実数になります。

つまり、二つの区間内の実数が一対一で変換できるので、
個数は同じだけある。
というのが答えになります。

大学数学ではこれを濃度が同じとしています。
イメージとしては「長さが違ったとしても同じ一本の線(の区間)」
なので一対一に対応できるのは当たり前、といったところでしょうか。

Q連立方程式

y=2px+p^2 と3xp^2+2p^3=C からPを消去して、x,y,cの方程式を導く。
なるべく根号を用いないで処理したいのですが、良い方法がありましたら教えてください。

Aベストアンサー

せっかくだから計算してみましょうか。式をいじれば根号は消えますね。

y=2px+p^2    ①
3xp^2+2p^3=C  ②

①より、p^2=-2px+yなので、これを②に代入して、
3x(-2px+y)+2p(-2px+y)=C
-6px^2+3xy-4p^2x+2py=C
-6px^2+3xy-4(-2px+y)x+2py=C
∴2p(x^2+y)-xy=C
よって、p=(xy+C)/2(x^2+y)

①より、pの2次方程式を解いて、p=-x±√(x^2+y)なので、
-x±√(x^2+y)=(xy+C)/2(x^2+y)
±√(x^2+y)=x+(xy+C)/2(x^2+y)

両辺を2乗して、分母を払い、整理すると(この過程は単純計算なので省略)、

-4Cx^3+3x^2y^2-6Cxy+4y^3-C^2=0

Q数学1の三角比について質問です。sinの値が90度を超えると、直角三角形は作れないと思うのですが

数学1の三角比について質問です。

sinの値が90度を超えると、直角三角形は作れないと思うのですが、

例えば、sin135度=sin45度となるようです。

sin135度ということは、三角形の一つの角の大きさが、135度ということですが、

135度という角度を含む三角形は、そもそも直角三角形にはならないので、なぜsin45度と同じになるのか、理解できません。

Aベストアンサー

解り易い様に直角3角形を使うのだけれど、実際には直角三角形では無く、角度に対して決めたもの。

下の図の左で、赤(y)/青(斜辺)をsinθ、緑(x)/青(斜辺)をcosθと決めた。
それを解り易く直角3角形で置き換えると、右の図。

青(斜辺)は絶対値で正。x,yは正負の符号が付く。
130度の場合はy/青(斜辺)でyは正。
45の場合もy/青(斜辺)でyは正。

どちらも、y/青(斜辺)は同じ値になるでしょう?

Q数学の問題です

10-5を教えてください。よろしくお願いします。

Aベストアンサー

まず、円O1の中心を求め(O1の任意の2個の弦の、各々の垂直二等分線の交点である)、この中心を通るlに平行な直線(mとする)を引く。そして、O1の中心からaだけ離れたm上の2点を中心とした、半径がO1と同じ2個の円を描く。
こうして描いた2円の内の一方に、円O2との交点が存在するなら、その点がQ。そしてQを通るlと平行な直線nを引けば、このnとO1の交点(は最大2点だが、2点ならどちらか一方)が、題意を満たすPになる。

Q弧度法で弧の長さと面積をだす公式が腑に落ちません

弧度法で弧の長さと面積をだす公式が腑に落ちません

弧の長さは、半径 x 中心角(ラジアン)

面積は、半径 x この長さ x 1/2


とのことですが、なぜ上記の公式で、弧の長さと、面積を求めることができるのでしょうか?

Aベストアンサー

π:円周率

中心角(ラジアン) =2π × 中心角(°) /360°
ということを知っていれば、

弧の長さ:半径 × 中心角(ラジアン) =半径 × 2π × 中心角(°) /360°
     =直径 × π × 中心角(°) /360°
この式から、弧の長さは
「直径 × 円周率」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

そして、
扇形の面積:半径 × 弧の長さ × 1/2 =半径 × 半径 × 2π × 中心角(°) /360° × 1/2
      =π × 半径 × 半径 × 中心角(°) /360°
と計算式を変形すれば、ここから
「円周率 × 半径 × 半径」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

よって、このようにすると
「直径 × 円周率」が円の円周の長さ、
「円周率 × 半径 × 半径」が円の面積であることはすでに習っているはずなので
計算式上で理解しやすいはずです。


さて、ではなぜラジアンを使うのでしょうかという問いですが、
実は半径1の円において、円周の長さが2π(ラジアン)であることに関係しています。
半径1の円の弧の長さ
=円周の長さ × 中心角の割合 =2π × 中心角の割合
=中心角(ラジアン)
ここから、弧の長さ=半径×中心角(ラジアン)が導かれるのです。
きちんと理解ができていれば、ラジアンを使ったほうが簡単だったというだけですね。


扇形の面積に関しては、計算式から求めても構わないのですが、
直感的には、No.4のかたの言うように、三角形に細分化したものを考えます。

同じ扇形を二つ用意して、これを小さな扇形にカットしたものを想像してください。
そしてそれを交互に組み合わせていきます。
 ~~~~
/    /
~~~~
カットの仕方が大きいと上の図のようになりますが、
より微細にカットしたものを使うことによって、
| ̄ ̄ ̄|
|   |
  ̄ ̄ ̄
というように、だんだん長方形に近づいていきます。
このとき、底辺が弧の長さ、高さが半径に近づいていきます。
こうすることによって、
扇形の面積(の2個分)は弧の長さ × 半径 と表されるのです。
すなわち、
扇形の面積=弧の長さ × 半径 ÷2
という式が導かれるわけです。

この作業をしているのが積分なのですが、それは割愛します。

π:円周率

中心角(ラジアン) =2π × 中心角(°) /360°
ということを知っていれば、

弧の長さ:半径 × 中心角(ラジアン) =半径 × 2π × 中心角(°) /360°
     =直径 × π × 中心角(°) /360°
この式から、弧の長さは
「直径 × 円周率」に中心角の割合を掛け合わせたものだとわかります。

そして、
扇形の面積:半径 × 弧の長さ × 1/2 =半径 × 半径 × 2π × 中心角(°) /360° × 1/2
      =π × 半径 × 半径 × 中心角(°) /360°
と計算式を変形すれば、ここから
「円周率 × 半径 × 半径」に中心角...続きを読む


このQ&Aを見た人がよく見るQ&A

人気Q&Aランキング

おすすめ情報