長方形の短辺･長辺の中点を交差させたときの台形の体積

画像の通りの問題です。
斜線部の面積を求めたいです。
面積比を使う所まではイメージできますが、
その後が上手く計算出来ません。
皆様の知恵をお貸し下さい。

質問者からの補足コメント

• 

  回答ありがとうございます。
  補助線を2本引きましたが、
  新しく出来あがった2つの三角形の
  面積比1:4になったところで止まってしまいました。
  この三角形の面積をどのように算出すれば良いでしょうか？

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/08/31 09:47

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2017/08/31 06:48

中点を補助線で結んで、長方形の右上頂点と左下頂点を補助線で結ぶ。

出来た三角形と長方形の面積比を分かるところから一つ一つ算出すれば答えは割り出せる。

No.2 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/08/31 11:36

えーと、長方形の面積を S とすると

図の各所の面積の和は
A+B+D=S/4
A+B+C=S/4
C+E=S/4
D+E=S/4
A=S/8

これからすぐわかるのは
A+B=E
C=D

ですよね。で BとEは相似形で E=4B
ですから
A+B = 4B → A/3 = B = S/24
A + B = 4B = S/6 = E

C = S/4 - E = S/4 - S/6 = S/12
D = C = S/12

斜線の面積=E + S/2 = S/6 + S/2 = (4/6)S = (2/3)S=(2/3)24=16
かな。オンラインなのでミスはご容赦を。

この回答へのお礼

分かりやすい解説ありがとうございました！
メネラウスの定理を使用してくださった方更に別解ものせて下さった方皆さんに感謝感激です！

お礼日時：2017/08/31 13:42

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/31 12:01

原点(0,0)をBとすると A(0,4) ,C(6,0) ,D(6,4)

また、AとBの中点((0,2)をE 、AとDの中点(3,4)をF 、EDとFBの交点をGとすると
△DAEと点Bにおいて、メネラウスの定理より、
(3/3)・(2+2/2)・EG/GD=1より
EG/GD=1/2 だから
∠ADE=θとおくと
△AEDの面積=AD・EDsinθ・(1/2)=6・3ksinθ・(1/2)=3・(6ksinθ /2)
△FDGの面積=FD・GDsinθ・(1/2)=3・2ksinθ・(1/2)= 1・(6ksinθ /2)
よって △AED : △FDG=3:1=6:2より …(1)
△ADEの面積=(4・6)/2/2=6 だから (1)より
△FDGの面積=6・(2/6)=2
故に、四角形AEGFの面積=6ー2=4
また、同様に
△EBGの面積=6ー4=2
従って
求める面積は、24ー(4+2+2)=16 …Ans

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/31 12:11

(訂正)

メネラウスの定理より、EG:GD=1:2 より 高さが同じ
△EGB:△GDB=1:2 だから
△GDBの面積=24/2/2 ・(2/3)=4 より
求める面積は、△BDC+△GDB=12+4=16 …Ans

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/31 12:31

メネラウスの定理を使わなくても、解ける！

△EFG 相似 △BDGなので,三平方の定理より
EF:BD=√(2^2+3^2) : √｛ (2・2)^2+(2・3)^2｝=√(2^2+3^2) : 2√(2^2+3^2)=1:2より

EG:GD=1:2 より 高さが同じ
△EGB:△GDB=1:2 だから
△GDBの面積=24/2/2 ・(2/3)=4 より
求める面積は、△BDC+△GDB=12+4=16 …Ans

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2017/08/31 13:07

他にもあるよ！

DEをE方向に伸ばして、CBの延長線上の点をHとおくと
△HDC相似△HEBより
EB:DC=2:4=1:2 より
HE:HD=1:2=3:6 …(1)
また、
△ADG相似△HGCより
AD:HC=6:6+6=1:2より
HG:GD=2:1=4:2 …(2)
(1),(2)より
HE:EG:GD=3:HG-HE:2=3:(4-3):2=3:1:2
つまり
EG:GD=1:2
以下 No5の4行目と同じで 16です！