高校数学 数列

nを1以上の整数とする。2n個の正の実数x_1,...,x_n,y_1,...,y_nは
x_1+・・・+x_n=1
を満たす。また、x_0 = 0 とする。

1以上n以下の任意の整数の組(i,j)に対し
x_0+・・・+x_(i-1)≧y_j または 2≧x_1+・・・+x_j+y_i
となるとき
x_1y_1+・・・+x_ny_n≦1
を示せ

考えてもわかりません
この問題を教えてください

No.1 回答者： sasa-san 回答日時： 2017/10/07 14:55

正の実数：x[1],x[2],…,x[n], y[1],y[2],…,y[n]

なので、nを超えない任意の自然数kに対して 0<x[k], 0<y[k] である。
また、
x[1]+x[2]+ … +x[n]=1
より、nが1以上の整数であることから、0<x[k]≦1 となる。

x[0]=0
1以上n以下の任意の整数の組(i,j)


＜条件１＞
　x[0]+x[1]+ … +x[i-1]≧y[j]　が成り立つ
このとき、左辺は i=n で最大になるから
x[0]+x[1]+ … +x[i-1] ≦x[0]+x[1]+ … +x[n-1]
x[n]をさらに足して
<x[0]+x[1]+ … +x[n-1] +x[n] =1
ゆえに
x[0]+x[1]+ … +x[i-1] <1
であるから、
y[j]≦x[0]+x[1]+ … +x[i-1]<1
より、任意のjに対して
y[j]<1
が成り立つ。

＜条件２＞
　2≧x[1]+ … +x[j]+y[i]　が成り立つ
このとき、右辺は j=n で最大になるから
x[1]+ … +x[j]+y[i] ≦x[1]+ … +x[n]+y[i] ≦2
ところで
x[1]+ … +x[n]+y[i] =1+y[i]
なので、
1+y[i] ≦2
より、任意のiに対して
y[i]≦1
が成り立つ。


これらの条件より、y[]は任意の整数i,jに対して
0<y[j]<1　または　0<y[i]≦1　が成立することがわかる。

したがって、
x[1]y[1]+x[2]y[2]+ … +x[n]y[n]
において、k項目に着目すると条件から
x[k]y[k] <x[k]　または　x[k]y[k] ≦x[k]　となるので
x[1]y[1]+x[2]y[2]+ … +x[n]y[n] ≦x[1]+x[2]+ … +x[n]=1
ゆえに
x[1]y[1]+x[2]y[2]+ … +x[n]y[n] ≦1
が成立する。


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2つの条件から、y[]がどのような数値を取り得るかを導きましょう。
等号が成り立つのは、y[k]=1。
つまり、すべてのy[]に対して条件２が成り立つときだけです。