この問題もお願いします 正方形ABCDはM、NはそれぞれCD,ADの中点で点EはBEとCNの交点。こ

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正方形ABCDはM、NはそれぞれCD,ADの中点で点EはBEとCNの交点。このときBE,EMの長さの比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
お願いします！
説明見て途中までわかるんですけど
BE:EM＝FB:CM＝（2＋2）:1＝4:1
の式がわかりません。
答えは4:1です

No.1 回答者： むらさめ 回答日時： 2017/10/08 10:22

BC:CM=2:1　→　三平方の定理よりBM＝√5

△CME∽△BCM∽△BCE　直角三角形と三角形の角の和が180°であることから。

CM:ME=√5:1
BC:BE=√5:2

BC/CM=2　→　BC/2=CM　①
CM/ME=√5　→　ME=CM/√5　②　
BC/BE=√5/2　→　BE=2BC/√5　③
③/②=BE/ME=(2BC/√5)/(CM/√5)
=2BC/CM＝2BC/(BC/2)=4/1　←①を代入
∴BE:ME=4:1

この回答へのお礼

ありがとうございます！
難しいですね

お礼日時：2017/10/09 10:54

No.2 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/08 21:18

Mから、ABにBCの平行線を引いて、CNとの交点をFとおくと

△CMF 相似 △CND より、Mは、CDの中点から、MF : DN=1:2=1/2 : 1 …(1)
また、
△MDF 相似 △BCDより、(1)より、DN:BC=1:2から
MF : BC=1/2 : 2=1:4 だからBD : DM=1:4

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/10/09 10:54

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/08 21:50

少しややこしいかもしれないが、別解として、

Dから、ABの中点へ引いた線とCNとの交点をGとおく
△CEM 相似 △CGDよりCM : CD=1:2から、EからCDの垂線 : GからCDの垂線=1:2
から、△CEM : △CGD=1^2 : 2^2また、
△BCM 合同△CDNから、△CEM 合同 △DGN より
最終的に、高さが等しい△BCE : △CEM=4:1からも求められる。

この回答へのお礼

ありがとうございます！！

お礼日時：2017/10/09 10:55

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/08 22:21

必ず、できるのが、座標で解くとよい！覚えておくと便利！

Bを原点に、A(0,1) .C(1,0) D(1,1) M(1,1/2) N((1/2,1)
直線BMは、y=(1/2)x
直線NCは、y=ー2x+2 で法線なので、直交する！
(1/2)x=ー2x+2 よりx=4/5 で、E(4/5,2/5)

Eのx座標が、4/5で、Mのx座標が1なので、BE : EM=(4/5) : (1-4/5)=4:1



または、
BE=√(４／５)^2+(2/5)^2=√(16+4) /5=(2/5)√5
BM=√1+(1/2)^2=√(5/4)=(√5)/2
∴ BE:BM=2/5 : 1/2=4:5より
∴BM:EM=4:1

この回答へのお礼

ありがとうございます！
座標でやってみます！

お礼日時：2017/10/09 10:55

No.5 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/08 22:38

ベクトルAB=→a ,ベクトルBC=→b とおくと

→BM=→b+(1/2)→a から
→BE=s・→b+(1/2)s・→a …(1)
また、
→BN=→a+(1/2)→bより
→NC=→BCー→BN=→bー(→a+(1/2)→b)=(1/2)→bー→a
よって、
→BE=→BN+→NE
=→a+(1/2)→b+(1/2)t・→bーt・→a
=(1ーt)→a (1＋t)(1/2)→b …(2)

(1)=(2)より
s/2 =1ーt
s=(1+t)(1/2)

s=2ー2 t から
2ー2 t=(1+t)(1/2)
∴ 4ー4 t=1＋t
∴ 3=5 t
∴ t=3/5
∴ s=4/5
従って、BE : BM=4/5 : 1=4:5
∴ BE : EM=4:1

この回答へのお礼

すごい難しそうですね…
ありがとうございます！！

お礼日時：2017/10/09 10:55

No.6 ベストアンサー 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/08 23:26

NからBCに垂線を引き、BMと交わる点をH 、BCとの交点をJ とおくと

N H 平行 DCより、△CMEと△HENにおいて、
対頂角と錯角が等しいから、相似であり、また、…(1)
△BJHと△BCMも相似だから、…(2)
CM : HJ=2:1=1/2 : 1/4
NH : HJ=(1-1/4):1/4=3:1=3/4 : 1/4
(1)より
NH : CM=3/4 : 1/2=3:2から

HE : EM=3:2
(2)より
BH : BM=1:2 からBH : HM=1:1=5:5
従って
BE : EM=BH+HE : EM=5+3 : 2=4:1

この回答へのお礼

丁寧にありがとうございます！！

お礼日時：2017/10/09 10:56