高校数学この問題の解き方教えてください。

高校数学この問題の解き方教えてください。

No.1 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/26 10:45

正射影ベクトルを利用して、内積から

AB、ACの中点をM、Nとすると
(1/2)AB=AM、AM垂直AO
Nも同様になるので、
→AM・→AO=I AM I^2=(5/2)^2=25/4
また、=(1/2)→AB・→AO=(1/2)→AB・(s→AB+t→AC)=(s/2)・I AB I^2+(t/2)→AB・→AC …(1)

→AN・→AO= I AN I^2=(8/2)^2=16
また、同様に、=(1/2)→AC・→AO=(t/2)・ I AC I^2+(s/2)→AC・→AB …(2)

(1),(2), I AB I^2=5^2=25 ,I AC I^2=8^2=64より
s・25/2+(t/2)→AB・→AC=25/4
∴ 50・s+40・t=25
(s/2)・→AB・→AC+64・t/2=16
∴ 10・s+32・t=16
故に
→AO=(4/30)→AB+(11/24)→AC

No.2 回答者： guunagoona2015 回答日時： 2017/10/26 10:57

→　を省略して

AB・AC=|AB||AC|cos∠BAC　に
｜AB|=5、｜AC|=8、AB・AC=20　を代入して

20＝5・8・cos∠BAC
cos∠BAC=1/2

0°＜∠BAC＜180°　より
∠BAC＝60°

△ABCで、余弦定理より
|BC|^2＝|AC|^2+|AC|^2－2・|AB|・|AC|・cos60°
＝25+64－2・5・8・(1/2)
＝25+64－40
＝49

|BC|＞0　より
|BC|＝7

Ｏは△ABCの外心だから、正弦定理より
2|AO|＝7/sin60°
2|AO|＝7/(√3/2)
|AO|＝7/√3　　　（ ⇐　分母の有理化はしていない ）

よって
|BO|＝|CO|＝|AO|＝7/√3


これより
|AO|^2＝|sAB+tAC|^2
|AO|^2＝s^2|AB|^2+2stAB・AC+t^2|AC|^2
(7/√3)^2＝s^2・5^2+2st・20+t^2・8^2
49/3＝25s^2+40st+64t^2　　･････　①

|BO|^2＝|AO－AB|^2
|BO|^2＝|sAB+tAC－AB|^2
|BO|^2＝|(s－1)AB+tAC|^2
|BO|^2＝(s－1)^2+2(s－1)・AB・AC+t^2|AC|^2
(7/√3)^2＝(s－1)^2・5^2+2(s－1)t・20+t^2・8^2
49/3＝25s^2－50s+25+40st－20t+64t^2　　･････　②

|CO|^2＝|AO－AC|^2
|CO|^2＝|sAB+tAC－AC|^2
|CO|^2＝|sAB+(t－1)AC|^2
|CO|^2＝s^2|AB|^2+2s(t－1)・AB・AC+(t－1)^2|AC|^2
(7/√3)^2＝s^2・5^2+2s(t－1)・20+(t－1)^2・8^2
49/3＝25s^2+40st－40s+64t^2－128t^2+64　　･････　③

①－②　より
0＝50s－25+20t
10s+8t＝5　　･････　④

①－③　より
0＝40s+128t－64
10s+32t＝16　　･････　⑤

⑤－④　より
24t＝11
t＝11/24

④　に代入して
10s+11/3＝5
10s＝4/3
s＝2/15

No.3 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/26 11:00

または、外心から、3頂点までの距離が等しいを利用！

→OAの大きさ=→OBの大きさ=→OCの大きさ から
→AO=→AB ー→BO また =→AC ー→CO
から、両辺を平方し、sとtを含んだ式を代入して、条件の値を代入しても良い！

勿論、AB 垂直 OM また、AC 垂直 ON から、内積の垂直条件(=0)でも良い！

以上 3通りの方法があるが、一番気がつきにくい解法のみ記載しました！

No.4 回答者： sc348253 回答日時： 2017/10/26 11:13

補足！

→AM・→AO= I AM I・I AO I・cos∠ OAM
ここで、AM 垂直 MO より
I AO I・cos∠OAM=I AM I・を利用している。

以上、薬剤師より 薬のこともお答えします！