a=5+√7/3-√7の分母を有理化すると、a=11+4√7になる。 不等式x<aみたす最も大きな自

a=5+√7/3-√7の分母を有理化すると、a=11+4√7になる。
不等式x<aみたす最も大きな自然数xは21です。

この21はどうやって求めたのでしょうか？
解説お願いします。

No.1 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2017/11/07 05:33

√7＝2.646

∴a=11+4√7＝21.583

21.583より小さな自然数は、1,2,3・・・・・21。

この中で一番大きなのは21

No.5 回答者： Tacosan 回答日時： 2017/11/07 13:17

(x-11)^2 < 102 を満たす最も大きな自然数 x はいくつ?

No.4 回答者： yhr2 回答日時： 2017/11/07 10:22

式の書き方が悪いので誤解されますが、正しくは

　a = (5 + √7)/(3 - √7)
ですよね？
　
どこまでが分子で、どこまでは分母か、きちんと「カッコ」で明示しないと
　a = 5 + (√7 /3) - √7
にしか見えません。

上のとおりなら、
　a = (5 + √7)/(3 - √7)
　　= [ (5 + √7)(3 + √7) ] / [ (3 - √7)(3 + √7) ]　　←分子・分母に「3 + √7」をかける
　　= [ 15 + 8√7 + 7 ] / [ 9 - 7 ]　　　　　　　　　←すると分母のルートがなくなる
　　= (22 + 8√7) / 2
　　= 11 + 4√7　　　　　①

ここまでは分かるのですか？

次に、あたりを付けてみると
　　2 = √4 < √7 < √9 = 3
より
　　2 < √7 < 3　　　　②
を①式に代入すれば
　　11 + 4×2 < a < 11 + 4×3
→　19 < a < 24

あとは、各々の数と「引き算」をして「正負」を見るか、「割り算」をして「1より大きいか小さいか」によって大小を判断します。

「引き算」でやってみると
・a - 23 = 11 + 4√7 - 23
　　　　= 4√7 - 12
　　　　= 4(√7 - 3)
　②より √7 - 3<0 なので　a < 23

・a - 22 = 11 + 4√7 - 22
　　　　= 4√7 - 11
こんどは「分子の有理化」のために、分子・分母に「4√7 + 11 > 0」をかけて
　a - 22 = (4√7 - 11)(4√7 + 11) / (4√7 + 11)
　　　　= (112 - 121) / (4√7 + 11)
　　　　= - 9/(4√7 + 11)
分母は >0 なのでこれは a - 22 < 0 つまり a < 22

・a - 21 = 11 + 4√7 - 21
　　　　= 4√7 - 10
同様に「分子の有理化」のために、分子・分母に「4√7 + 10 > 0」をかけて
　a - 21 = (4√7 - 10)(4√7 + 10) / (4√7 + 10)
　　　　= (112 - 100) / (4√7 + 11)
　　　　= 12/(4√7 + 11)
　分母は >0 なのでこれは a - 21 > 0 つまり a > 21

これで「21 < a < 22」が確定しますね。
「スマートに解くこと」だけでなく、ときには「泥臭く解く」ことも必要なのです。

No.3 回答者： chiha2525-- 回答日時： 2017/11/07 09:38

分母の有理化、が分からないんですよね？

(a+b)(a-b)=a^2-b^2
を使います。

http://manapedia.jp/text/2469


x<a=11+4√7
が分からないというなら、小学生レベルになってしまうのですが。

No.2 回答者： windwald 回答日時： 2017/11/07 07:32

5+√7/3-√7 の分母は3ですから既に有理化されていますね。

ただ同類項をまとめて 5-2√7/3 とするほうがよいですが。