高１ 数A 場合の数と確率 0,1,2,3,4,5の6個の数字の中から異なる4個の数字を選んで4桁の

高１ 数A 場合の数と確率

0,1,2,3,4,5の6個の数字の中から異なる4個の数字を選んで4桁の整数をつくるとき、次のような数の個数を求めよ。

1.偶数
2.奇数
3.3の倍数

という問題の解説お願いしますm(_ _)m

No.1 回答者： yyycrossfire 回答日時： 2017/11/10 01:32

まず４桁目に0が来てしまうと４桁の整数にならなくなってしまう（３桁になる）のでそこに注して進めます

また、問１，２は１桁目の数字→４桁目の数字→３桁目→２桁目と決めていくとします
問３は４桁目→３桁目→２桁目→１桁目の順番で決めていくとします

１

偶数の場合　１桁目が偶数であれば４桁の整数は偶数になります
一桁目には0,2,4のどれかがくれば４桁の整数は偶数になります。
ここで一桁目が０の時と２，４のときで場合分けします

まず０の時
4桁目～２桁目までは何でもいいのでその時の場合の数は５個の中から３個選べばよいので

5×4×3=60

通りです。

次に一桁目が２，４の時には４桁目が０ではまずいので４桁目は１桁目の数と０以外の４通りです。
３桁目は０があってもよいので４通りです。
２桁目も０があってもよいので３通りです。
よって4×4×３=48

一桁目は２，４の二通りあるのに注意すれば偶数になる場合の数は

60+48×2=156

通りです。


2

奇数の場合も１桁目が奇数であれば４桁の整数は奇数になります。
一桁目には1,3,5のどれかがくれば４桁の整数は偶数になります。これが３通り

４桁目は１桁目の数と０以外の４通りです。
３桁目は０があってもよいので４通りです。
２桁目も０があってもよいので３通りです。
よって4×4×３=48

一桁目は1,3,5の3通りあるのに注意すれば偶数になる場合の数は

48×3=144

通りです


３

３の倍数になるには４つの桁の数字を足して３の倍数になれば４桁の整数は３の倍数になります。（順番は関係なく３の倍数になります）

0,1,2,3,4,5の４つの組み合わせの足し算で３の倍数になる組み合わせを計算します



まず６個の数字を全部足してみると

0+1+2+3+4+5=15

となり３の倍数になっています。なのでこの６つの数字から２個取り除くときにその２個の足した数が３の倍数なら残った４つの数字の足し算も３の倍数になるはずです

足して３の倍数になる二つの組み合わせ

0と３
1と5
2と４

の３通りになります

ここで場合分けします

まず取り除くのが０と３のとき
残った４つの数字は1,2,4,5で０がないので

4×3×2×1＝２４

通りです

次に１と５を取り除く場合です

のこった４つの数字の中に０が含まれていますので
４桁目に０以外の３通り
３桁目に４桁目に選んだ数字以外の３通り
２桁目は２通り
１桁目は１通り

よって

3×3×2×1＝１８

通りです。

１と５を取り除く場合と同様に２と４を取り除く場合も

18通り

よって４桁の整数が３の倍数になるのは

24+18+18=60

通り

この回答へのお礼

お返事遅くなってしまい、すみません！！わかりやすく説明いただき、本当ありがとうございました！！

お礼日時：2017/11/13 15:38

No.2 回答者： ひさっぴぃ 回答日時： 2017/11/10 01:32

こんにちは。

高校時、数学では確率好きだった者です。
当時の記憶をもとに
今でも解けるか自己テストのつもりで回答します。
なので、間違っていたらごめんなさい。

確率では定番的な前提知識、ｍＣｎやｍＰｎの計算は解っているものとします。
なので、その点での計算については省略しています。

１．偶数
４ケタの数字で偶数となるのは、一の位が偶数の時
このため、一の位に選択できるのは０、２，４の３パターン。
それぞれについて、残りの位で選択できるものを組み合わせます。
式は左から順に千の位、百の位、拾の位。
一の位が０場合：５Ｃ１＊４Ｃ１＊３Ｃ１　＝　６０
一の位が２場合：４Ｃ１＊４Ｃ１＊３Ｃ１　＝　４８
一の位が４場合：４Ｃ１＊４Ｃ１＊３Ｃ１　＝　４８
一の位が２と４の場合は、千の位で０が使えない
（４ケタの整数という題意に反する）として計算しています。
３つを足して、
［答え：１５６］

２．奇数
解法は２通り？
上記、偶数の場合と同様でもよいのでしょうが、
折角なので別パターン。
まずは単純に４つを選んで並べた場合。
６Ｐ４　＝　３６０　・・・（１）
千の位が０の場合
５Ｐ３　＝　６０　・・・（２）
（１）から（２）を引くと、１０００以上となる組み合わせ
３００が残ります。
この中から偶数が除外となるので、
上記の［１．］の答え１５６を引くと１４４となるので
［答え：１４４］

３．３の倍数
求め方はいくつか、いわゆる「全部書き出してみる」とかありますが、
ココでは数学らしく、テクニックを持ち出します。
３の倍数の数字には、
「全ての桁の値を足す行為を繰り返して１桁くらいにすると、
　最終的に３の倍数になってる。」
というのがあります。
今回は４ケタなので、問題を言い換えると
「足し合わせると３の倍数となる４枚を選んだ時、
　全ての並べ方は何通りあるか」
となります。・・・ホントかな。
では、ココまでで「０」を気にするとメンドイと判っているので
０が有るか無いかで分けて考えます。
（１）０無しの場合
使える組み合わせは［１２４５］・・・の一通り・・・ナノか？？
では、この並べ方なので
４Ｐ４の２４通り。
（２）０有りの場合
使える組み合わせは［０１３５］［０２３４］の二通り・・・ナノか？？
こちらは頭ゼロ（千の位が０の意）のウンタラカンタラがあるので
４Ｐ４＊２－３Ｐ３＊２　＝　３６
０無し版と０有り版を足すと６０
［答え：６０］

ひとまずココまで。
更に詳しくとか、間違ぅとるやんけなどありましたら
補足などにてお伝え願います。

この回答へのお礼

お返事遅れてしまい、すみません！！
丁寧に説明いただき、本当ありがとうございました！覚えていられているなんてすごいですね！！私も頑張ります、、（笑）

お礼日時：2017/11/13 15:40

No.3 回答者： ひさっぴぃ 回答日時： 2017/11/10 10:42

こんにちは。

２番目の回答者です。
ごめんなさい。
回答後、検証してみたら見事に間違いがありましたので訂正します。

間違いの箇所は
「３．３の倍数」
の中での（２）０有りの場合です。
使える組み合わせにもう一つ［０１２３］がありました。
なので
４Ｐ４＊３－３Ｐ３＊３　＝　５４
０無し版と０有り版を足すと７８
［答え：７８］

この回答へのお礼

ありがとうございます！

お礼日時：2017/11/13 15:40

No.4 回答者： ひさっぴぃ 回答日時： 2017/11/10 23:31

２番目の回答者です。

重ねてごめんなさい。
その後、検証してみたら
更に間違いがありましたので訂正します。

間違いの箇所は
「３．３の倍数」
の中での（２）０有りの場合です。
使える組み合わせにもう一つ［０３４５］がありました。
結果、［０１２３］［０１３５］［０２３４］［０３４５］
の４通りとなるので
４＊（４Ｐ４－３Ｐ３）　＝　７２
０無し版と０有り版を足すと１０８
［答え：１０８］

・・・自信なくなってきました。。。

この回答へのお礼

わざわざ教えていただきありがとうございます！解説をしっかり読んでテストに備えたいと思います、重ね重ねありがとうございました！！

お礼日時：2017/11/13 15:42

No.5 回答者： tknakamuri 回答日時： 2017/11/12 22:20

全体は5x5x4×3=300通り

1. 先頭が1、3、5では4桁目は0又は2又は4の3通りだから
3x3x4×3=108通り
先頭が2又は4では、4桁目は2通りだから
2x2×4x3=48通り

計156通り 確率156/300

2. 1の余事象なので 144/300

先頭が1の場合残り3桁で昇順の組み合わせは
023 035 245
同様に先頭が2の場合は
013 034 145 235
3の場合は
012 015 024 045 345
4の場合
023 035 125
5の場合
013 034 124

計18通り

なので 18×3P3=108通り

確率 108/300