Id²θ/dt²＝－mghsinθの厳密解の求め方を教えてください

Id²θ/dt²＝－mghsinθの厳密解の求め方を教えてください

No.2 ベストアンサー 回答者： Ae610 回答日時： 2018/01/02 09:29

Id²θ/dt²＝－mghsinθ　　(回転の運動方程式・・!?)

---以下は参考程度で見て欲しい!---

取敢えずI,m,g,hは常数と見て、θが微小でない(sinθ≒θと出来ない場合)として・・、
両辺にdθ/dtをかけてtで積分すると

∫{dθ/dt・d²θ/dt²}dt＝(mgh/I)・∫{-sinθ}dθ
(1/2)・(dθ/dt)²＝mgh/I・cosθ+C　　(C：積分常数)

dθ/dt＝±√(2mgh/I・cosθ+C) (dθ/dt＞0として考える)

dθ/dt＝√(2mgh/I・(1-sin²θ)+C)
1+I/2mgh=1/k²とでも置き直して変形すると
dθ/dt＝√(2mgh/I)/k・√(1-k²sin²θ)
dθ/√(1-k²sin²θ)＝{√(2mgh/I)/k}dt
初期条件からθの範囲が決定できたとして(仮に0≦θ≦φとして)
両辺を積分する
∫[0→φ]{1/√(1-k²sin²θ)}dθ＝∫[0→t]{√(2mgh/I)/k}dt＝(√(2mgh/I)/k)・t
t＝k/√(I/(2mgh))・∫[0→φ]{1/√(1-k²sin²θ)}dθ
∴t＝k/√(I/(2mgh))・sn(φ,k)　（sn(φ,k)：ヤコビの楕円関数）

導き方など、「力学」とかの本に載っているのではと思う・・!

No.1 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/01/01 11:55

お正月だから回答が無いのかな？　ま，例えば位相平面上なら 1/2 (d(theta)/dt)^2 - omega^2 cos(theta)=一定！ でしょうか。

きっと振り子のような回転運動の問題だろうなぁと推測して，omega^2 = mgh/I としましたので，このパラメータが正だという前提です。一応，位相平面上で軌跡を描けますからおおよその厳密解（？）は得られます。でもこれじゃまだ解じゃないということなら，例えば摂動法というのを勉強すればいいらしいですが，それも特異摂動法の方です。僕はちゃんと勉強していないので，このキーワードでネットとか図書館で探してもらえれば，少なくともべき乗（級数？）表現だけは求めることができます。ということで回答にはなってないので，あくまでも参考まで。ものの本から第1項の見た目だけを書いておくと以下のようになるらしいです。
A sin( (1-1/16 A^2 + O(A^4)) omega t ) + O(A^3)
難しそぉー。