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Id²θ/dt²=-mghsinθの厳密解の求め方を教えてください

A 回答 (2件)

Id²θ/dt²=-mghsinθ  (回転の運動方程式・・!?)


---以下は参考程度で見て欲しい!---

取敢えずI,m,g,hは常数と見て、θが微小でない(sinθ≒θと出来ない場合)として・・、
両辺にdθ/dtをかけてtで積分すると

∫{dθ/dt・d²θ/dt²}dt=(mgh/I)・∫{-sinθ}dθ
(1/2)・(dθ/dt)²=mgh/I・cosθ+C  (C:積分常数)

dθ/dt=±√(2mgh/I・cosθ+C) (dθ/dt>0として考える)

dθ/dt=√(2mgh/I・(1-sin²θ)+C)
1+I/2mgh=1/k²とでも置き直して変形すると
dθ/dt=√(2mgh/I)/k・√(1-k²sin²θ)
dθ/√(1-k²sin²θ)={√(2mgh/I)/k}dt
初期条件からθの範囲が決定できたとして(仮に0≦θ≦φとして)
両辺を積分する
∫[0→φ]{1/√(1-k²sin²θ)}dθ=∫[0→t]{√(2mgh/I)/k}dt=(√(2mgh/I)/k)・t
t=k/√(I/(2mgh))・∫[0→φ]{1/√(1-k²sin²θ)}dθ
∴t=k/√(I/(2mgh))・sn(φ,k) (sn(φ,k):ヤコビの楕円関数)

導き方など、「力学」とかの本に載っているのではと思う・・!
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お正月だから回答が無いのかな? ま,例えば位相平面上なら 1/2 (d(theta)/dt)^2 - omega^2 cos(theta)=一定! でしょうか。

きっと振り子のような回転運動の問題だろうなぁと推測して,omega^2 = mgh/I としましたので,このパラメータが正だという前提です。一応,位相平面上で軌跡を描けますからおおよその厳密解(?)は得られます。でもこれじゃまだ解じゃないということなら,例えば摂動法というのを勉強すればいいらしいですが,それも特異摂動法の方です。僕はちゃんと勉強していないので,このキーワードでネットとか図書館で探してもらえれば,少なくともべき乗(級数?)表現だけは求めることができます。ということで回答にはなってないので,あくまでも参考まで。ものの本から第1項の見た目だけを書いておくと以下のようになるらしいです。
A sin( (1-1/16 A^2 + O(A^4)) omega t ) + O(A^3)
難しそぉー。
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