xyz空間に3直線 L1：(x,y,z)=(1,2,3)＋t1(1,1,−1) L2：(x,y,z)

xyz空間に3直線
L1：(x,y,z)=(1,2,3)＋t1(1,1,−1)
L2：(x,y,z)=(−1,−2,−3)＋t2(3,−3,1)
L3：(x,y,z)=(2,4,a)＋t3(b,1,1)
がある。
この3直線のすべてに直交する直線が存在するように定数a、bの値を定めよ。

この問題が分からないので教えてください！

No.1 ベストアンサー 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/02/14 22:14

ｔ1，ｔ2，ｔ3の係数の３個のベクトル(1,1,−1) (3,−3,1) (b,1,1)が一次従属であることがｂの条件となる。

行列式で書くと、行列式＝０
|1,1,−1|＝－2b－10＝０　からｂ＝－5
|3,−3,1|
| b,1,1|
L1：(x,y,z)=(1,2,3)＋t1(1,1,−1)
L2：(x,y,z)=(−1,−2,−3)＋t2(3,−3,1)
L3：(x,y,z)=(2,4,a)＋t3(−5,1,1)
L1とL2に直交する方向はL1とL2の方向ベクトルのベクトル積になる。
(1,1,−1)×(3,−3,1)＝(−2, −4, −6)＝−2 (1, 2, 3)
これより
L4＝ｔ4(1, 2, 3)
とする。(1, 2, 3)はL1, L2, L3の方向ベクトルと直交するので、(1, 2, 3)と各方向ベクトルとの内積は0である。
(1, 2, 3) (1,1,−1)＝０，(1, 2, 3) (3,−3,1)＝０，(1, 2, 3) (−5,1,1)＝０
ｔ1＝ｔ2＝ｔ3＝０とすると
ｔ4＝1の時、L4はL1と(1,2,3)で交わる。
ｔ4＝−1の時、L4はL2と(−1, −2, −3)で交わる。
a=6とすると、
ｔ4＝2の時、L4はL3と(2,4,6)で交わる。

No.2 回答者： ji6 回答日時： 2018/02/19 22:16

行列式と外積を用いない解答例

3直線のすべてに直交する直線をL₄とする。
方向ベクトルをそれぞれd₁，d₂，d₃，d₄とする。
d₄=(s,t,u)とすると，d₁･d₄=0かつd₂･d₄=0よりd₄=k(1,2,3)

d₃･d₄=0 より，b=-5

条件より，L₁は点P(1,2,3)を通り，L₂は点Q(-1,-2,-3)を通る。
ベクトルPQ=-2(1,2,3) より，直線PQがL₁とL₂に直交する直線L₄である。

よって，L₄：(x,y,z)=(1,2,3)+t₄(1,2,3)

L₄とL₃の交点を求めると，a=6 のとき (2,4,6)で直交する。