高校数学 整数a.b (a>b)において、abの積と最小公倍数が示されている時の最大公約数の求め方を

高校数学

整数a.b (a>b)において、abの積と最小公倍数が示されている時の最大公約数の求め方を教えてください
また、このときのa.bの組み合わせの数、aの最大最小についても問われていました

ついさっき受けた入試問題のため元の問題を正確には覚えていません。おおよその求め方、またはそれが載っているサイト等あれば教えてください。
書き出しで対応していたら他の問題解ききれなかったので…

質問者からの補足コメント

• 解答ありがとうございます
  さっきの問題は、abの積を素因数分解したときに2と3と7になってしまい場合分けに苦しみました
  確か3024とかで2^4×3^3×7だったのかな…
  
  aとbの関係は互いに素である必要があったと思うのですが…何通りできるのか計算がうまくできず…
  
  うろ覚えなんですが、a×b=3024、最小公倍数=504だったかとおもいます。
  この場合の組み合わせの出し方を詳しく教えていただけるとありがたいです。

    補足日時：2018/02/16 18:36

No.5 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/02/16 21:06

ごめん。

6は最大公約数だった。6=2¹×3¹

3024=2⁴･3³･7¹だった。

a,bには2,3と言う素因数が含まれるけど、両方共に複数個は入らない。
2,3の片方は必ず1個で無いと、2ⁿまたは3ⁿが共通因数になってしまう。

a,bの組合わせは
(2¹･3¹　,　2³･3²･7¹)
(2¹･3²　,　2³･3¹･7¹)
(2³･3¹　,　2¹･3²･7¹)
(2³･3²　,　2¹･3¹･7¹)

と、これを左右ひっくり返したもの。

No.4 回答者： tekcycle 回答日時： 2018/02/16 20:25

ａ＝ｎ×ｍ、ｂ＝ｎ×ｋ、とすると、ａ×ｂ、最小公倍数、最大公約数、それぞれどうなるでしょう。

類題を探すまでもないと思いますが。
たぶん、ｎが最大公約数になったりｎｍｋが最小公倍数になるためには、ｍとｋが互いに素である、なんて条件が要るんでしょうけど。

No.3 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/02/16 19:01

>>a×b=3024、最小公倍数=504

最大公約数は3024/504=6

3024=2⁴･3³･4¹

公約数=6=2･3だから、a,bには2,3と言う因数が1個以上必要。
これに注意すればa,bは決まると思う

aには、2が1～3個まで、3が1～2個まで、4が0～1個まで含まれれば良いから、それを組合わせた数（そうしないと、bに2,3が1個以上含まれない)

∴aは12通り(3×2×2）で具体的には以下
a=2･3, 2²･3, 2³･3, 2･3･4, 2²･3･4, 2³･3･4,
2･3², 2²･3², 2³･3², 2･3²･4, 2²･3²･4, 2³･3²･4

bは3024を上で割ればペアが求まる。

No.2 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/02/16 12:59

abの積=最小公倍数×最大公約数

この性質を使えば計算出来る。

>>a.bの組み合わせの数、aの最大最小
abの積を素因数分解すれば出て来る。
ab=48だったら、2⁴･3¹だからa<bとすれば、組の候補は
(a,b)=(2,24), (4,12), (8,8), (3,16), (6,8)

No.1 回答者： ももた123 回答日時： 2018/02/16 12:56

abの積/最小公倍数ではないですか？