(x^2+2x-1)^6の展開式を教えてください。

Question

springside · Accepted Answer

こうなります。

x^12 + 12x^11 +54x^10 +100x⁹ +15x⁸ -168x⁷ -76x⁶ +168x⁵ +15x⁴ -100x³ +54x² -12x +1

ただ、もし、例えば「(x²+2x-1)⁶の展開式におけるx⁷の係数を求めよ」などという問題であれば、全部展開するのは無意味で、もっと簡単に求められる。

sc348253 · Answer

y=｛ (x+1)^2 ー2 ｝^2^3 をパスカル三角形か二項定理でできます！

○(a+b+c)^n を展開したとき， a^p・b^q・c^r の係数は n!/( p!q!r! ) になる．
（p+q+r=n , 0≦p,q,r≦n）
○すなわち，一般項は n!/( p!q!r!) ・( a^p・b^q・c^r ) になる．
（p+q+r=n , 0≦p,q,r≦n）
○展開式は
   (a+b+c)^n = Σ  n!/( p!q!r! )  ・( a^p・b^q・c^r  )
（p+q+r=n , 0≦p,q,r≦n）
より多項定理より求めてください！
（このΣ記号は，条件に合うものを全部加えることを示す．）

majimelon37 · Answer

６次展開
(x^2+2x-1)^6の展開式。＿＿6次の二項定理(1)と12次までの二項定理(2)等の公式を使います。
(a+b)^6= a ^6+6 (a ^5)b+15(a ^4)b^2+20(a ^3)b^3+15(a ^2)b^4+6 ab ^5+b^6＿(1)
(x+1)^12= x^12+12 x^11+66 x^10+220 x^9+495 x^8+792 x^7+924 x^6+･･･＿(2)
まず、x^2+2x−1を＝(x+1)^2−2と変形してから６乗します。a＝(x+1)^2，b＝−2として式(1)を使うと
(x^2+2x-1)^6＝((x+1)^2−2)^6＝(a+b)^6
= a ^6+6 (a ^5)b+15(a ^4)b^2+20(a ^3)b^3+15(a ^2)b^4+6 ab ^5+b^6
この７つの項を、それぞれ、(x+1)^12の公式(2)などを使って次のように書く。
それを合計すればよい。
a ^6＝((x+1)^2)^6=(x+1)^12
x^12+12 x^11+66 x^10+220 x^9+495 x^8+792 x^7+924 x^6
+792 x^5+495x^4+220 x^3+66 x^2+12x+1
6 (a ^5)b＝6((x+1)^2)^5･(−2)=(x+1)^10･(−12)
=−12 x^10−120 x^9−540 x^8−1440 x^7−2520 x^6
−3024 x^5−2520x^4−1440 x^3−540 x^2+120x−12
15(a ^4)b^2＝60(x+1)^8
=60 x^8+480 x^7+1680x^+3360x^5+4200x^4+3360x^3+1680x^2+480x+60
20(a ^3)b^3＝−160(x+1)^6
=−160x^6−960x^5−2400x^4−3200 x^3−2400x^2−960x−160
15(a ^2)b^4＝240(x+1)^4
=240x^4+960x^3+1440x^2+960x+240
6ab^5＝−192(x+1)^2
=−192x^2−384x−192
b^6＝64
これらを合計すると
x^12+12 x^11+54x^10+100 x^9+15 x^8−168 x^7
−76x^6+168x^5+15^4+100x^3+54x^2+228x+1

みやこ。。 · Answer

もっと簡単な方法があるかもしれませんが、パスカルの三角形を使うと楽かと思います。
ここでは図示しづらいので調べてみてください(＞人＜;)

(x^2+2x-1)^6の展開式を教えてください。

こうなります。

y=｛ (x+1)^2 ー2 ｝^2^3 をパスカル三角形か二項定理でできます！

６次展開

もっと簡単な方法があるかもしれませんが、パスカルの三角形を使うと楽かと思います。

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