y=ax^2+bx+c (aは0ではない)の特性をa,b,cを用いて表わせ と言う問題

他の方の質問（高校生か高校受験生）で下記のようなものが有りました。
(4),(5)は同じことを言っていて
ac<0（a>0の時c<0、a<0の時c>0なので）
と考えたのですが合っていますでしょうか。
また合っているとしたら(3),(6)はこの様な簡単な式で表すことができるでしょうか。

問題
y=ax^2+bx+c (aは0ではない)の特性をa,b,cを用いて表わせ。
(1) x軸と1点を共有する
(2) x軸と2点で交わる
(3) x軸の正の部分と2点で交わる
(4) x軸の正と負の部分の両方で交わる
(5) 全ての象限を通る
(6) 第1象限、第2象限を通らない

質問は下記です。こちらに直接回答していただいても結構です。
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10358744.html

よろしくお願いいたします。

質問者からの補足コメント

• 

  (3)
  ac>0かなと考えたのですが、これではx軸の負の部分でも2点で交わってしまいます。
  (-b-√(b^2-4ac)/(2a)>0
  より簡単にはなりませんか。
  
  (6)
  a<0かつb^2-4ac<0
  とするしかないですか。

    補足日時：2018/03/15 15:23

• 

  Tacosan様
  象限に軸は含まれませんでした。
  ありがとうございます。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/03/15 16:08

• 

  皆様回答いただきありがとうございます。
  下記の通り回答いたしましたのでご報告します。
  https://oshiete.goo.ne.jp/qa/10358744.html
  本当にお世話になりました。

    補足日時：2018/03/17 06:57

No.3 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2018/03/15 18:33

（4）（5）は同じですね。

そしてac<0でよいです。
（3）はｂ²/(ac)＞4　かつab＜0
（6）はやはりa＜0、ｂ²－4ac＜0　でしょう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
(3)は
ac>0と判別式からb^2/(ac)>4

頂点のx座標>0
-b/(2a)>0
b/a<0 両辺にa^2を掛けて
ab<0
でよろしいでしょうか。

お礼日時：2018/03/15 21:00

No.6 回答者： konjii 回答日時： 2018/03/16 12:55

№５です。

＞(4)はa>0の時c<0 かつ a<0の時c>0
＞(5)はa>0の時c<0 または a<0の時c>0
＞と言うことなのでしょうか。
そうです。
＞ac<0と書いた場合はどちらになるのでしょうか。
a>0の時c<0 または a<0の時c>0で条件を満たすので
（５）です。ac<0はa>0の時c<0 または a<0の時c>0の必要条件です。
　　　　　　a>0の時c<0 または a<0の時c>0はac<0の十分条件です。
（４）はaが正の時も負の時も、正と負に根を持たなければいけないので
　　　このような表現になります。
　　　ac<0はa>0の時c<0 かつ a<0の時c>0の必要条件です。
　　　a>0の時c<0 かつ a<0の時c>0はac<0の十分条件ではありません。
　　　a>0の時c<0でac<0となるからです。

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます。お礼が遅くなり申し訳ありません。
必要条件・十分条件を1から勉強し直しました。（40年以上前に習って、それから使ったことが無かったので。）

お礼日時：2018/03/16 16:02

No.5 回答者： konjii 回答日時： 2018/03/16 06:50

№２です。

（４）と（５）は違います。
(4) x軸の正と負の部分の両方で交わる　はaが正でも負でもx軸の正と負の部分の両方で交わらなければなりません。
（５） 全ての象限を通る　はaが正の場合か負の場合か、片方の場合を示せば良い。
　　（５）は（４）の条件の一部になります。

この回答へのお礼

朝の忙しい時に回答いただきありがとうございます。

(4)はa>0の時c<0 かつ a<0の時c>0
(5)はa>0の時c<0 または a<0の時c>0
と言うことなのでしょうか。
ac<0と書いた場合はどちらになるのでしょうか。

お忙しいところ申し訳ありませんが、よろしくお願いいたします。

お礼日時：2018/03/16 10:17

No.4 回答者： syotao 回答日時： 2018/03/15 22:36

No.3です。

お礼についてはそのとおりです。ただし逆に
ｂ²/(ac)＞4からac＞0、ｂ²－4aｃ＞0　が出てくることに注意してください。
(この２式を統合したかったからｂ²/(ac)＞4と書いたのです笑)
あと（6）は頂点がｘ軸上にあってもよいのでa＜0、ｂ²－4aｃ≦0でしたｽｲﾏｾﾝ｡

この回答へのお礼

度々回答ありがとうございます。
ｂ²/(ac)＞4の件、了解しました。
昨日からのモヤモヤがスッキリしました。
今日は早く寝ます。おやすみなさい。

お礼日時：2018/03/15 23:09

No.2 回答者： konjii 回答日時： 2018/03/15 16:29

y=ax^2+bx+c (aは0ではない)の特性をa,b,cを用いて表わせ。

ー二次曲線ですねー
(1) x軸と1点を共有する⇒ｙ＝D（X+A)^2=DX^2+2ADX+DA^2よりD=a, 2AD=b=2aA A=b/2a, DA^2=c=a・b^2/4a^2から
　　　　　　　　　　　　ｙ＝a(X+b/2a)^2
(2) x軸と2点で交わる⇒ｙ＝ax^2+bx+c=0で実数解を持つ。この時ｘ＝－ｂ±√ｂ^2-4ac/2a　で　ｂ^2-4ac＞０
(3) x軸の正の部分と2点で交わる⇒ｙ＝ax^2+bx+c=0で正の実数解を持つ。この時ｘ＝－ｂ±√ｂ^2-4ac/2a>0　かつ　ｂ^2-4ac＞０
(4) x軸の正と負の部分の両方で交わる⇒ｙ＝ax^2+bx+c=0で正の実数解を持つ。この時ｘ＝－ｂ＋√ｂ^2-4ac/2a>0か
　　ｘ＝－ｂ－√ｂ^2-4ac/2a＜0　かつ　ｂ^2-4ac＞０または、ｘ＝－ｂ＋√ｂ^2-4ac/2a＜0か
　　ｘ＝－ｂ－√ｂ^2-4ac/2a＞0　かつ　ｂ^2-4ac＞０

(5) 全ての象限を通る⇒ｙ＝ax^2+bx+c a>0の時上に開いた二次曲線なので、切片ｃをｃ＜０とすると全ての象限を通る。a>0かつｃ＜０
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　a＜0の時下に開いた二次曲線なので、切片ｃをｃ＞０とすると全ての象限を通る。a＜0かつｃ＞０

(6) 第1象限、第2象限を通らない⇒ｙ＝ax^2+bx+c　a＜0の時下に開いた二次曲線。ｙ’＝２aX＋ｂ　頂点で２aX＋ｂ＝０　X=－b/2a　この時の
　　ｙ座標は（－ｂ）^2/4a+-b^2/2a+c 頂点のｙ座標が（－ｂ）^2/4a+-b^2/2a+c＜０の時、 第1象限、第2象限を通らない。よって
　　（－ｂ）^2/4a+-b^2/2a+c＜０かつa＜0
　　　　　　　　　　　
以上

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
私の補足の(3)に大前提のb^2-4ac>0が抜けてましたね。
ところで、(5)を満たせば(4)も満たされると思うのですが、(4)と(5)で表現を変える必要は有るのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

お礼日時：2018/03/15 16:58

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/03/15 15:34

(6) はちょっとだけ違う. (3) も 2つの条件で書くのが普通かな.

この回答へのお礼

早々の回答ありがとうございます。
すいません、(6)は軸上も良しとして、b^2-4ac≦0で良いでしょうか。

お礼日時：2018/03/15 15:42