ミクロ経済学の問題です。 【問題】 生産物の産出量をY、労働量をLとし、ある企業の生産関数がY=10

ミクロ経済学の問題です。

【問題】
生産物の産出量をY、労働量をLとし、ある企業の生産関数がY=10K^0.6L^0.4で表されるものとする。
今、実質賃金が48であるとしたとき、労働の平均生産性Y/Lの値はどうなるか。ただし、市場は完全競争市場で、資本量Kは固定されたものとする。

解答には、まずMPLを求めると書いてあるのですが、
MPL=∂Y/∂L
=0.4*10K^0.6L^0.4-1 (ここまで理解しました)
このあと、
=0.4*10K^0.6L^0.4L^ｰ1 ①
=0.4*YL^ｰ1 ②
とあり、なぜこうなるのかがわかりません。
①の式では、前の式でL^0.4-1だった部分が
なぜL^-0.6ではなくL^0.4L^-1になるのか、
②の式では、なぜ0.4*YL^-1が導かれるのか、
教えていただきたいです。

また、どうしてはじめにMPLを求めるのかがわかりません。
私はコブ=ダブラス型生産関数を用いてMRTSを求め、MRTS=w/rを使ってこの問題を解こうとしてしまいました。
(多分、利潤最大化条件と、費用最小化条件の使い分けができていないのかなと思います。)

初歩的な問題かと思われますが、知識が足りず、頭がはてなでいっぱいです…。よろしくお願いします。

No.1 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/03/29 05:24

>①の式では、前の式でL^0.4-1だった部分がなぜL^-0.6ではなくL^0.4L^-1になるのか、

②の式では、なぜ0.4*YL^-1が導かれるのか、教えていただきたいです。

L^0.4L^-1 = L^(0.4-1)= L^-0.6
だから、L^-0.6とL^0.4L^-1とは等しいのです。よろしいでしょうか？したがって、MPLは①であらわされるのです。
ではなぜわざわざ①のような形に変形したのか？それは生産関数が
Y = 10K^0.6L^0.4
を①の部分へ代入するためです！①の部分は
MPL= 0.4*(10K^0.6L^0.4)L^-1
= 0.4YL^-1
= 0.4(Y/L)
となり、このように変形しておけばMPL式の右辺に生産性Y/Lの項が現れるので、便利です。よって
Y/L =MPL/0.4 = 40MPL　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
となり、生産性はMPLの40倍に等しいことがわかる。この関係をあとで利用するのです。

＞また、どうしてはじめにMPLを求めるのかがわかりません。
私はコブ=ダブラス型生産関数を用いてMRTSを求め、MRTS=w/rを使ってこの問題を解こうとしてしまいました。
(多分、利潤最大化条件と、費用最小化条件の使い分けができていないのかなと思います。)

企業の目的は利潤最大化です。ここではKは与えられているので（つまり短期の利潤最大化）、利潤をΠと書くと
Π＝pY- wL -rK
となるが、利潤最大化の一階の条件は
０＝∂Π/∂L=p∂Y/∂L - w = pMPL - w
MPL = w/p
となる。つもり、Kの与えられている企業は自己のMPLを（市場で与えられた）実質賃金w/p=48に等しいところまでLを雇用することなのです。
よって、
MPL=48
を（＊）の右辺に代入して
Y/L = 40×48=1920
となる。

No.2 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/03/29 13:13

NO.1回答の計算間違いの訂正です。

＞
Y/L =MPL/0.4 = 40MPL　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
となり、生産性はMPLの40倍に等しいことがわかる。この関係をあとで利用するのです。

は

Y/L =MPL/0.4 = 2.5MPL　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（＊）
となり、生産性はMPLの2.5倍に等しいことがわかる。この関係をあとで利用するのです。

と直してください。それから

MPL=48
を（＊）の右辺に代入して
Y/L = 40×48=1920
となる。

は

MPL=48
を（＊）の右辺に代入して
Y/L = 40×2.5=100
となる。

と直してください。

No.3 回答者： gootarohanako 回答日時： 2018/03/30 09:43

>私はコブ=ダブラス型生産関数を用いてMRTSを求め、MRTS=w/rを使ってこの問題を解こうとしてしまいました。

(多分、利潤最大化条件と、費用最小化条件の使い分けができていないのかなと思います。)

「短期」と「長期」を区別する必要があります。すべての生産要素を自由に選択できるような「長い」期間が長期で、短期とは一部の生産要素が長期契約等によって「固定」していて、それらの使用水準を自由に選択するのが困難あるいは不可能なような状況を「短期」と呼びます。短期とは、野菜の生産者なら、農業用の土地の長期の賃貸契約（10年なら10年の）を地主との間で結んでいて、10年間はその土地を使って野菜を生産する必要があるような状況です。（契約が切れる10年後には地主を変えたり、賃貸する土地面積を変えたりと「自由」に土地の水準を決定できることになる。）製造業なら、工場をいったん建設してしまえば、その工場の下で生産を行っていく必要があります。工場の減価償却が済んでしまう「長期」には工場の規模を変えたり、新しい技術を取り入れたりと、「自由」に選択できることになる。短期において、自由に選択できる（生産）要素を可変要素、固定していて自由には選択できない要素を固定要素と呼ぶ。ここでは、Lは可変要素で、Kは固定要素という設定です。言い換えると、長期とはすべての生産要素は可変要素となるような状況を指して言います。
可変要素間の最小費用の組み合わせを求めるためには、
MRTS=要素の相対価格
を満たす要素の組み合わせを選べばよい。たとえば、この経済にL,KのほかにTという要素（たとえば土地）があり、生産関数が
Y = K^aL^bT^(1-a-b)
というコブダグラス関数で与えられるとする。Tが固定要素で、LとKは可変要素だとするなら、最小費用のKとLの組み合わせ(K,L)を求めるためには
min C = wL + rK + tT
s.t.
Y = K^aL^bT^(1-a-b)
の最小化問題をTを与件として解けばよ。一階の条件は

MRTS=∂Y/∂L/∂Y/∂K =w/r

(b/a)K/L = w/r

で与えられる。