漸化式: I[n]=x{(logx)^n} - n･I[n-1], I[1]=xlogx-x の解き

漸化式:
I[n]=x{(logx)^n} - n･I[n-1], I[1]=xlogx-x

の解き方を教えてください。

I[n]=∫{(logx)^n}dx
について考えていて、部分積分よりこんな漸化式が出てきました。
積分定数は省略してあります。

もしかしてI[n]=∫{(logx)^n}dxが答えになってしまうのでしょうか？

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/05/19 23:41

I[n] = (-1)^n n! I'[n] とおけば I'[n] についてもうちょっと簡単な漸化式になる... けど, その先が

にもならないと思う.

No.2 回答者： springside 回答日時： 2018/05/24 23:59

∫{(logx)^n}dxの一般式が知りたいってことかな？

第2種不完全ガンマ関数 Γ(a,x)を用いれば、

∫{(logx)^n}dx = Γ(n+1,-logx) (-logx)^(-n) (logx)^n

になるけどね。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
その第二種不完全ガンマ関数というのは、ベータB関数(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)とかのガンマ関数と同じものなのでしょうか？

お礼日時：2018/05/25 00:11

No.3 回答者： springside 回答日時： 2018/05/25 00:30

Wikipediaで調べてね。

No.4 回答者： majimelon37 回答日時： 2018/05/25 00:44

「漸化式を解く」という言葉は定義されていません。

つまり、「漸化式を解け」と言われても、何をすればいいのか決まっていないので、質問は不完全です。このままでは回答不能です。
代わりに
「∫{(logｘ)^n}dxを計算せよ。」＿＿①
「漸化式:I[n]=x{(logx)^n} - n･I[n-1], I[1]=xlogx-xの一般項を求めよ。」＿＿②
「∫{(logｘ)^3}dxを計算せよ。」＿＿③
のいずれかなら、答えがあります。
①は積分実行せよという意味だとすれば、積分記号「∫」がない形の式を得ることが目的です。
②は、文字通り、一般項を得ることで、任意のｎに対する一般項を得ることが目的です。
③は具体的にｎ＝３に対して、①を実行することです。
もし、質問の目的が②なら、I[n]=∫{(logｘ)^n}dxが答えになります。
普通は積分を実行して計算の答えを得たいので、③が目的です。ただし、ｎ=3にかぎらず、任意の有限値のｎに対して計算することです。
I[2]=x(logｘ)²－2(xlogｘ－x)＿＿④
I[3]=x(logｘ)³－3 I[2]
=x(logｘ)³－3 {x(logｘ)²－2(xlogｘ－x)}
=x{ (logｘ)³－3 (logｘ)²+6 logｘ－6 }＿＿⑤
③に対する答えは式⑤です。
質問の目的が①なら、③の手続きを任意のnに対して計算できるように書いた漸化式が答えです。
この漸化式によって積分を実行して,積分記号「∫」がない形の式を得ることができます。