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y=e^(x^2)「イーのエックス二乗乗」は積分できないんですか?
高校の数学で積分できない関数は何か判別法でもあるのでしょうか?

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A 回答 (4件)

この問題は多くの人が疑問に感じると思われるのに書いてある本は少ない。

困ったことだと思います。この積分は初等関数で表せない(もちろん置換積分でできない)ことは有名ですが、初等関数は多項式、指数関数、三角関数、
およびそれらの逆関数、その組み合わせに限りません。yが
 An y^n + An-1 y^(n-1) + … + A0 = 0
の解(ここでAn, An-1, …, A0はxの多項式)のようなときにもyはxの初等関数であると言います。また組み合わせは有限回の組み合わせに限ります。無限回の合成を含めれば
 cos(x)=ax
の解などもaの初等関数ということになってしまいます。
 不定積分が初等関数で表せるかどうかの判定にはリュービルの定理が重要な部分を占めています。しかしリュービルの定理自身はそのような判定を与えるものでありません。一般的な判定法はRischのアルゴリズムと呼ばれるもので、リュービルの結果はすでに昔の話です。数式処理に積分のアルゴリズムを組み込むことなどもRischの結果で初めて可能になったものであり、それに触れないのではきわめて不十分な回答と言わざるを得ないでしょう。Rischのアルゴリズムについては
 佐々木建昭:bit,12(5), p.738
や数式処理の専門書にあります。
 なお、
∫e^(-x^2)dx= x - x^3/3 + x^5/5・2! - x^7/7・3!+…
∫e^(-x^2)dx=-e^(-x^2)[1/2x - 1/2^2x^3 + 1・3/2^3x^5 -…]
という漸近展開が成り立ちます。
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参考URLを付けておきます。



参考URL:http://people.uncw.edu/freezem/ift2.pdf
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>y=e^(x^2)「イーのエックス二乗乗」は積分できないんですか?



積分ができない=面積が存在しない
という意味なら、積分できますが、
積分ができない=不定積分が初等関数の範囲で求められない
という意味なら、積分できません。

初等関数とは、多項式、指数関数、三角関数、
およびそれらの逆関数、その組み合わせです。

>高校の数学で積分できない関数は何か判別法でもあるのでしょうか?

ありますが、高校範囲では説明できません。
リュービルの定理を用います。
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y=e^(x^2)


って置換積分でできるような気がしますが、
今の高校って置換積分ってしないのですか
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タイトルのまんまです。いっくら考えてもわかりません。しまいには積分できちゃった(間違えてたけど)しだいです。
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どうかよろしくおねがいします

Aベストアンサー

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Qe^(-x^2)の積分

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どなたか分かる方、よろしくお願いします。

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ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
だから、e^-(x^2)を積分する代わりにe^-(x^2+y^2)を積分してその√を取れば解が得られるという論法を利用するんですね。
四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
を積分するにはちょっとなんで、四角形に接する大小の円で挟み撃ちを考えるんですね。
半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x^2+y^2)=r^2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e^-(r^2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e^-a^2)(π/2)=(π/4)(1-e^-a^2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e^-(2a^2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e^-a^2)}<∫[0→a]e^-(x^2)dx
<√{(π/4){1-e^-(2a^2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e^-(x^2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

ガウス分布に使いますね。
やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの(1/4)円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe^-x^2 をx方向に積分すると、
∫[0→a]e^-x^2dx
正方形の領域だからe^-y^2 をy方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e^-x^2dx=∫[0→a]e^-y^2dy
ということは、x,yは独立に考えられるので、
∫[0→a]e^-(x^2+y^2)dxdy
={∫[0→a]e^-x^2dx}^2
という関係が出ますね。
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Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

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e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Q積分で1/x^2 はどうなるのでしょうか?

Sは積分の前につけるものです
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まではわかったのですが
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Aベストアンサー

まず、全部 積分定数Cが抜けています。また、積分の前につけるものは “インテグラル”と呼び、そう書いて変換すれば出ます ∫

積分の定義というか微分の定義というかに戻って欲しいんですが
∫f(x)dx=F(x)の時、
(d/dx)F(x)=f(x)です。

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よって、
∫x^(a-1)dx=(1/a)*x^a+C
→∫x^adx={1/(a+1)}*x^(a+1)+C
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Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

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(日本語)
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そこで、次のようなことを教えてください。
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(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

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(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qある積分の問題。∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|

ある演習問題で
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という形が出てきて、それが解けずに解答を見たら、
∫1/√(x^2+A) = log|x+√(x^2+A)|
という記述で、この積分の問題は済まされていました。逆算すると、確かにそうなるのですが、なかなかこの形を直接考え出すのは、難しい気がします。…ので、単純な暗記になると思うのですが、覚えにくい形ですよね…。
何か右辺を導き出すような考えの手順のようなものはあるでしょうか?

よろしくお願いします。

Aベストアンサー

高校範囲だと、#1の方のように、
t = x+√(x^2+A)
という置換を覚えるものです。

∫1/(1+x^2)dx という形をみたら、x=tan(t) と置く、ていうのと同じ感じで、
∫1/√(1+x^2)dx という形をみたら、t=x+√(1+x^2) と置くものなんです。
この積分は、けっこうよく出てくるので、覚えておいて損はないです。

大学生であれば、#2の方のように、x=sinh(t) と置換するってのが常道でしょうけど。

Q∫exp(x)/x dxの積分

こんにちは。

ラプラス変換で微分方程式を解く問題をといておりましたところ、
以下の式が出てきました。

L{X(t)} = (3+2s)/{(1+s)(2+s)(3+s)}
L{Y(t)} = (2+4s+s^2)/{s(2+4s)}

これを逆ラプラス変換してX(t)およびY(t)を求めようと思います。
部分分数展開して積分を行ったのですが、その際どうしても以下の
積分を求める必要が出てきます。

∫exp(s)/s ds ……(1)


∫exp(s)*s^n ds
において、nが自然数なら、部分積分で求めることができるのですが、
nが負の整数の場合、部分積分を行うと(1)で手詰まりになってしまいます。

仮に(1)を部分積分しても、
[(log|s|)exp(s)] - ∫(log|s|)exp(s) ds
となり、∫(log|s|)exp(s) ds を求めることができないので、先に進めません。

どうやれば(1)の積分は解けるのでしょうか?

Aベストアンサー

単純に部分分数分解を間違っているだけですね。
それとも、逆ラプラス変換を勘違いしているか、
どちらかです。

逆ラプラス変換は、ふつうは積分をして求めません
ラプラス変換して対称の関数になる関数を探す作業をします。

また、∫exp(x)/x dx は初等関数で解析的に解くことはできません。
ですが、複素広義積分の計算はできます

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Q積分の問題

∫1/logx dx この積分ってどうやってやりますか?
詳しい方法をお願いします。

Aベストアンサー

定積分ではないので少し違うかもしれませんが、対数積分と呼ばれるものです。

下記URLを参照してください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%AF%BE%E6%95%B0%E7%A9%8D%E5%88%86

Q∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

∫1/(x^2+1)^2 の不定積分がわかりません

答えは

( 1/2 )*( (x/(x^2+1)) + tan-1(x) )

となるようですが、過程がまったくわかりません。
部分積分、置換積分、部分分数分解をためしてみましたが、できませんでした・・・。

見づらく申し訳ありません。画像を参照していただければと思います。
よろしくおねがいします。

Aベストアンサー

1/(x^2+1)^2 = (x^2+1)/(x^2+1)^2 - x^2/(x^2+1)^2
= 1/(x^2+1) - (1/2) x・(2x)/(x^2+1)^2
と分解しよう。

∫{ x・(2x)/(x^2+1)^2 }dx は、
∫{ (2x)/(x^2+1)^2 }dx が容易であることを用いて、
部分積分する。

∫{ 1/(x^2+1) }dx は、arctan の定義式だから、
知らなければどうしようもない。
(x=tanθ と置くのは、結論の先取で好ましくない。)


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