べき乗根

√iの答えは、1/√2+(1/√2)iと-1/√2-(1/√2)iになりますが、
これは、複素平面上の単位円で、偏角を(π/2+2nπ)/2 = π/4 + nπ
（nは自然数）から、π/4と5π/4の２つが出てきて、上の答えになります。
同様に、
√-1とした場合、偏角は(π + 2nπ)/2 = π/2 + nπからπ/2と3π/2の２つが
出てきてしまいますが、√-1 = i, -iとしていいのでしょうか？

質問者からの補足コメント

• i^2 = -1から√-1 = ±iというように定義してやればいいだけの話なのではないでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/24 02:14

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/24 00:17

「√x」は (x = 0 でなければ) 「2乗すると x になる数のうちの一方」を表します.

そして x^2 = i の答えは x = ±[1/√2+(1/√2)i] ですが, 「√iの答えは、1/√2+(1/√2)iと-1/√2-(1/√2)i」は変です. そもそも「√iの答え」も間違っているわけだけど.

No.2 回答者： お茶碗持つ方 回答日時： 2018/06/24 00:35

√ をどう定義するかによります。

複素平面上の 0 以外の複素数 z の平方根は2つありますが、偏角を 0≦arg(z)<2π としたとき小さい方を √z、大きい方を -√z と表記するものとした場合、
√1=exp(0)=1,
-√1=exp(iπ)=-1
√-1=exp(iπ/2)=i,
-√-1=exp(3iπ/2)=-i
√i=√exp(iπ/2)=exp(iπ/4)=1/√2+i/√2,
-√i=-√exp(iπ/2)=exp(5iπ/4)=-1/√2-i/√2
の様に、一律に答えが決まります。

しかし、ハミルトンの四元数の概念を導入して、複素空間上の複素数を考えた場合は、虚数単位が1つに定まらない (i j k 空間の単位球上の任意点となります) 為この様な定義ができません。

しかし、偏角の概念が登場するからには複素平面上で考えるべきでしょうから、前者の様に定義するのが自然であり、よって
√-1=i
のみと考えるべきでしょう。

そうでないなら、事前に偏角の値域を定め、√z と -√z がどちらを指すのか示しておく必要があり、それがないなら問題としては不適切です。

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/06/24 10:58

当方電気屋なもんで、間違っているかも知れませんが、以下のように考えてみました。

nを自然数として、方程式　

x^n=a ・・・・①

を考えます。

①が正の解をもつとき、(a)^(1/n)　は前記解を表す。

①が実数解としては負の解しかもたないとき、(a)^(1/n)　は前記解を表す。

①が実数解をもたないとき、(a)^(1/n)　は①の全ての解を表す。（偏角等に条件がない場合）

ただし、n=2, a<0　の場合に限っては、

√a=√｜a｜i　　したがって、√(-1)=i

とする。

上記のように、考えれば、(-1)^(1/4)　は４つ出てきます。