数学について。

次の問題で、なぜ、余りが、a(x＋1)(aは定数)とおけるのでしょうか？余りが、0はどこに使ったのでしょうか？教えていただけると幸いです。

質問者からの補足コメント

• 解答です。

  
    補足日時：2018/06/25 23:17

• 

  問題を書いておきます。教えていただけると幸いです。
  整式P(x)は（ｘ＋１）＾２で割ると割り切れて、ｘ－２で割ると１余る。このP（ｘ）を（ｘ＋１）＾２（ｘ＋２）で割ったときの余りを求めよ。
  です。大変恐縮ですが、お願いします。
  無礼でした。

    補足日時：2018/06/25 23:43

• 

  Q(x)=(x-2)×商+,,,の、、、は何を省略しているのでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが教えていただけると幸いです。

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/26 08:48

• 

  別の説明でお願いできないでしょうか？教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/26 17:26

• 

  3次式で割ったとき，余りに2次の項がたまたま現れない可能性がありますよね．
  これは、どういう意味でしょうか？
  大変恐縮ですが、教えていただけると幸いです。

  No.5の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/27 13:21

• 

  もし、問題で、余りが、0や、一次式になる可能性もあるのに、なぜ、(x＋1)∧2で割るのでしょうか？
  もし、余りが、0や一次式だったら、もう割れないとなると思うのですが、大変恐縮ですが、教えていただけると幸いです。

  No.6の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/06/27 22:18

No.7 ベストアンサー 回答者： fef 回答日時： 2018/06/28 02:41

回答No.6への補足コメントに対してお答えします．

> もし、問題で、余りが、0や、一次式になる可能性もあるのに、なぜ、(x＋1)∧2で割るのでしょうか？

R(x) の具体的な式が問題文からはわからないですよね．
もちろん1次式や定数である可能性もありますが，2次式である可能性もあります．
そこで，どちらであったとしても不都合が生じない解き方を採用するのです．

いま，仮に R(x) が1次式であったとしましょう．
この場合，確かに R(x) を (x + 1)^2 で割る必要はないのですが，
たとえ割ったとしても，
商が 0（これは a = 0 の場合に当たります），余りが R(x) そのものとなるだけで，
特に不都合は生じません．
無駄な計算が一個増えるだけです．
R(x) が定数の場合も同じで，(x + 1)^2 で割っても問題は生じません．

しかし一方，R(x) が2次式である場合には (x + 1)^2 で割ることが“必須”です．
(x + 1)^2 で割っておかなければ，正しい商も余りも求まりません．

こういった状況を考慮し，最悪のケースを避けるために (x + 1)^2 で割っておくのです．

ちなみにほかのやり方として，
　・R(x) が2次式である場合
と
　・R(x) が1次式あるいは定数である場合
とに場合分けして考えるという手もあります．
答案の記述量は若干増えますが，もちろんこちらの方法で解いてもかまいません．

No.6 回答者： fef 回答日時： 2018/06/27 14:15

回答No.5に補足します．

> 余りに2次の項がたまたま現れない可能性がありますよね

例えば，(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1) を3次式 (x^3 + x) で割ってみましょう．
余りが 1 になりますよね．

(x^4 + 2 x^3 + 3 x^2 + 4 x + 5) を (x^3 + 3 x) で割った場合はどうなるでしょう．
余りは -2 x + 5 になりますよね．

3次式で割ったからといって余りがつねに2次式になるわけではなく，
このように，2次の項（x^2 の項）が現れない場合もあるのです．

No.5 回答者： fef 回答日時： 2018/06/27 13:05

回答No.4に関して，つまずきやすい点に説明を足しておきます．

まず，「高々～次」という表現についてはよろしいでしょうか？

例えば高々2次の多項式とは
　a x^2 + b x + c　（a, b, c は定数）
という式のことを言います．
ただの2次式ではないかと思われるかもしれませんが，そう判断するのは早計で，
a = 0 かつ b ≠ 0 の場合は1次式になりますし，
a = 0 かつ b = 0 であれば定数になります．
そのような場合まで含めて「高々2次」と表現しているわけです．

3次式で割ったとき，余りに2次の項がたまたま現れない可能性がありますよね．
割り切れてしまって余りが 0 になる可能性などもありますよね．
そのため，余りを単に2次式とは表現できず，「高々2次の式」と言っているのです．

次に，回答No.4の第3, 4段落において何をやっているかわかりますか？

ここでは，最終的に「多項式 P(x) は (x + 1)^2 で割り切れる」という仮定を用いるために，
P(x) を (x + 1)^2 で割った形，つまり
　P(x) = (x + 1)^2 ×商 + 余り
という形にもっていこうとしています．
式(*)の時点ですでにこの形になっているではないかと思われるかもしれませんが，
R(x) がまだ (x + 1)^2 で割れる可能性があるので，これはまだ割り算の途中なのです．

例として，2 x^2 + 3 x + 2 を x + 1 で割る計算をイメージしてください．
この計算の過程を丁寧に書けば，
　2 x^2 + 3 x + 2
　= (x + 1)×(2 x) + x + 2　…(***)
　= (x + 1)×(2 x) + (x + 1)×1 + 1
　= (x + 1)×(2 x + 1) + 1
　（∴ 商は 2 x + 1，余りは 1）
となりますよね．（筆算でやっていることも結局これと同じです．）
式(*)はこの計算の(***)に相当する段階であり，
商と余りを答えるにはまだ計算が足りないのです．

そこで，回答No.4の第3段落において，
残りの R(x) の部分をさらに (x + 1)^2 で割っています．
そうして，式(**)やその下の
　(x + 1)^2 {(x - 2) Q(x) + a} + r(x)
の形にもっていけば，
r(x) は2次式 (x + 1)^2 でこれ以上割ることができない式（∵ r(x) は高々1次）ですので，
P(x) を (x + 1)^2 で割った際の商が (x - 2) Q(x) + a，余りが r(x) と求まるのです．

No.4 回答者： fef 回答日時： 2018/06/26 17:37

別の説明と言っても，少し順番が変わるだけなんですけどね．

式 P(x) を (x + 1)^2 (x - 2) で割ったときの商を Q(x)，余りを R(x) とすると，
模範解答にもあるように，
　P(x) = (x + 1)^2 (x - 2) Q(x) + R(x)　…(*)
　（R(x) は高々2次の多項式　[∵ 3次式で割ったから]）
と書けます．
ここまではよろしいですね．

いま，この R(x) をさらに (x + 1)^2 で割ります．
このときの商を a，余りを r(x) とすれば，
割り算の結果は
　R(x) = a (x + 1)^2 + r(x)
　（r(x) は高々1次の多項式）
と書けますね．
（高々2次の多項式 R(x) を2次式 (x + 1)^2 で割るので，商は定数になります．）

これを式(*)に代入しましょう．
そうすると，
　P(x)
　= (x + 1)^2 (x - 2) Q(x) + a (x + 1)^2 + r(x)　…(**)
　= (x + 1)^2 {(x - 2) Q(x) + a} + r(x)　（← (x + 1)^2 でくくれる部分をまとめた）
となるわけですが，この式をよく見ると，
これは P(x) を (x + 1)^2 で割ったときの式になっています．
したがって，「多項式 P(x) は (x + 1)^2 で割り切れる」という仮定より，
　r(x) ≡ 0
であるということがわかります．
この事実を式(**)に用いることで，
　P(x) = (x + 1)^2 (x - 2) Q(x) + a (x + 1)^2
という式が得られるわけです．

模範解答の書き方を見るに，
解答の作成者が意図していたのはおそらくこちらの解き方でしょうね．

No.3 回答者： fef 回答日時： 2018/06/26 12:17

回答No.2に補足します．

> 目指すべきこの式と(*)とを見比べると，
> 　Q(x) = (x - 2)×商 + ...
> という風に表したくなりますよね．

ここは解法を考える上での試行錯誤の部分ですので，
　「『...』の部分には何か式が入るかもしれないなあ」
くらいの大雑把な認識で済ませてください．
ここで言いたかったのは，
　「(x - 2)×何か」という項を作りたい
　→　(x - 2) で割り算をしよう
と思いつくことが重要だ，ということです．

やはりわかりにくいですか？
別の方法でも解説できますが，どうしましょう？

No.2 回答者： fef 回答日時： 2018/06/26 01:20

質問文の「a (x + 1)」はタイプミスで，「a (x + 1)^2」のことですよね．

そうだとして話を進めます．

以下では，解答とは少し違った順番で説明をしてみますね．

多項式 P(x) が (x + 1)^2 で割り切れるという仮定より，
P(x) を (x + 1)^2 で割ったときの商を Q(x) とおけば
　P(x) = (x + 1)^2 Q(x)　…(*)
と書けるのはよろしいですか？
割り切れるわけですから，余りは書かなくてよいわけですね．

さて，今回の問題での目標は，この式の右辺を最終的に
　「(x + 1)^2 (x - 2)×商 + 余り」
という形に変形することで余りを求めることです．
目指すべきこの式と(*)とを見比べると，
　Q(x) = (x - 2)×商 + ...
という風に表したくなりますよね．
そこで，Q(x) をさらに (x - 2) で割ってみます．
そうすると，商 q(x) および余り a を用いて
　Q(x) = (x - 2) q(x) + a
と書けますね．
これを式(*)に代入すれば
　P(x)
　= (x + 1)^2 {(x - 2) q(x) + a}
　= (x + 1)^2 (x - 2) q(x) + a (x + 1)^2
となって，目指していた形になるわけです．

以降の処理は解答と同じで，
まだ使っていない「x - 2 で割ると 1 余る」という条件から定数 a の値を求めれば，
目標としていた余りの式を得ることができます．

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/06/26 00:17

「余りが、a(x＋1)(aは定数)とおける」とは書いてないように見えるのは私だけ?