大学 数学 微分方程式

y'＝2−y/xという問題で、z＝y/xとして変数分離型にして解いて行く途中で、分離するときに左辺を∫1/(1−z)dzに分離するか、∫1/(z−1)dzに分離するかで、右辺の符号が変わって解答が2通り出てきます。問題集の答えは後者でy＝c/x+ xとなります。
なんでこうなるのか教えて頂けると嬉しいです。

質問者からの補足コメント

• 前者のときはy＝x−cx^3になります

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/07/11 01:47

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/07/11 01:44

前者だとどういう結果になるんだっけ? 「実は c の符号が違うだけ」ってオチではないよね?

No.2 回答者： 神真心 回答日時： 2018/07/11 03:13

どう解いても同じ答えになるに決まっている。

高校生が∫1/(1−z)dz=log|1-z|+Cなんて答えたら怒られるが、大学生になると怒ってくれる人もいなくなる。
a≠0として∫1/(ax+b)dxという積分をするときは、絶対にa>0とすること。
a<0の場合は∫1/(ax+b)dx=-∫1/(-ax-b)dxと変形してから積分しましょう。
違う人には、違うアドバイスをするけどね。

No.3 回答者： afilter 回答日時： 2018/07/12 23:23

誰でも知っていることですが、

∫dx/x=log|x|+C

ですね。これを示すために、右辺を微分してみましょう。ただし、d logx /dx=1/xを既知とします。
(1/|x|)d|x|/dx=(ｘ>0のとき、1/x, ｘ<0のとき、-(1/x)(-1)=1/x)=1/x

d(log|1-x|)/dx=(1/|1-x|)d|1-x|/dx=(ｘ>1のとき、1/(x-1),
ｘ<1のとき、(1/(1-x))(-1)=1/(x-1))= 1/(x-1)
したがって、
1/(1-x)= -1/(x-1)=-log|1-x|+C=-log| x -1 |+C
となります。

別の考え方として、
∫f’(x)/f(x)dx=log|f(x)|+C
を認めてもらえば、簡単です。
f(x)＝ax+b
f’(x)=a
∫adx/( ax+b)=log|ax+b|+C
∫dx/( ax+b)=(1/a)log|ax+b|+C　(a≠0)
これを適用すれば、
∫dx/( 1-x)=(1/-1)log|1-x|+C=-log|1-x|+C
となります。
　
微分方程式の解法ですが、xが特殊解であることが即座に分かります。
したがって、
xdy/dx+y=0
に帰着します。
よって、
y=C/x+x
となります。