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No.3ベストアンサー
- 回答日時:
i>
(cosθ+isinθ)^0=1
cos0θ+isin0θ=1
よって n=0 の時に成り立つ。
ii>
(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=1
(cosθ+isinθ)^-1
=cosθ-isinθ
=cos(-θ)+isin(-θ)
よって n=-1 の時にも成り立つ。
iii>
(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
が成り立つと仮定すると
(cosθ+isinθ)^(k+1)
=(cosθ+isinθ)(coskθ+isinkθ)
=(cosθcoskθ-sinθsinkθ)+i(sinθcoskθ+cosθsinkθ)
=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ
iv>
(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
が成り立つとすると
(cosθ+isinθ)^(k-1)
=(cosθ+isinθ)^-1 (cosθ+isinθ)^k
=(cosθ-isinθ)(coskθ+isinkθ)
=(cosθcoskθ+sinθcoskθ)+i(sinkθcosθ-sinθcoskθ)
=cos(k-1)θ+isin(k-1)θ
i〜iv より
(cosθ+isinθ)^n=cosnθ+isinnθ
{θは全実数, n は全整数}
数学的帰納法での証明では n が整数の場合までしか証明できませんが、実は実数まで拡張しても成り立ちます。
オイラーの公式
cosθ+isinθ=e^iθ
によって更に応用範囲が広がります。
No.2
- 回答日時:
(cosθ+isinθ)^n=cos nθ+isinnθ・・・・・①
n=kのとき、①が成立するとする。
(cosθ+isinθ)^k=coskθ+isinkθ
上式に、(cosθ+isinθ)を掛けて
(cosθ+isinθ)^(k+1)=(coskθ+isinkθ)( cosθ+isinθ)
= (coskθcosθ-sinkθsinθ)+i(sinkθcosθ+sinθcoskθ)
=cos(k+1)θ+isin(k+1)θ
となり、n=k+1のときも①が成立する。
また、n=1のとき、明らかに①は成立する。
したがって、①は任意のnに対して成立する。
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