４次方程式の因数分解がうまくいきません(><;;

x^4 - 4x^3 + 14x^2 - 20x +25 = 0

これはどのようにして因数分解すれば良いのでしょうか？

因数定理を使ったり、仮定法でしたり、色々試してるのですができません！泣

どなたか、お願いします！！

No.2 ベストアンサー 回答者： thyposhcap 回答日時： 2018/08/01 11:38

まず±1,±5を代入して左辺が0にならないということは解は実数ではなく、虚数です

故に、左辺＝(x2+ax+5)(x2+bx+5)と因数分解できます(4次の係数が1、定数項が5^2=25より)

これを展開するとx4+(a+b)x3+(10+ab)x2+5(a+b)+25となり、左辺と比較してa+b=-4,ab=4をとなります
これより、a=b=-2となります

よって、左辺＝(x2-2x+5)^2

xの後の^は省略しました

この回答へのお礼

あぁ、そうか。
２行目のx^0のところはいきなり５を入れて良かったのか(^^;;
そこも記号入れてやってましたわ笑

ありがとうございます！

お礼日時：2018/08/01 11:53

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2018/08/01 11:48

試行錯誤、直感、ヤマ勘といったところでしょうか。

ただし、この場合には
f(x) = x^4 - 4x^3 + 14x^2 - 20x + 25
　　= x^2 (x - 2)^2 + 10x^2 - 20x + 25
　　= x^2 (x - 2)^2 + 10(x - 1)^2 + 15
なので、すべての実数 x に対して
　f(x) > 0
であり、実数の範囲では因数分解はできないようですよ。

この回答へのお礼

ぽいですね(^^;;

微分方程式の初期値問題の途中で出てくるやつなんで、そこらへんは一応大丈夫ですが笑

ありがとうございます！

お礼日時：2018/08/01 12:30

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2018/08/01 11:35

x⁴-4x³+14x²-20x+25 =

(x⁴-4x³+4x²)+(10x²-20x)+25 =

(x²-2x)²+10(x²-2x)+25 =

(x²-2x+5)²

この回答へのお礼

そのやり方初めてみた・・・！
上からくくっていく方法もあるんですね！

ありがとうございます！

お礼日時：2018/08/01 12:28