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実数kに対し、x|1-|x||=kの異なる実数解の個数を求めよ。

という問題があるのですが、解き方と解答を教えてください。

A 回答 (3件)

じゃあ、地道に解くか。

順番に絶対値記号を外していくだけ。

与式の左辺をf(x)とおく。

1.x≧0のとき
 |x|=xだから、f(x)=x|1-x|
  (1) x≦1のとき1-x≧0だから、|1-x|=1-x
   ∴f(x)=x(1-x)=-x²+x
  (2) x>1のとき1-x<0だから、|1-x|=-(1-x)=-1+x
   ∴f(x)=x(-1+x)=x²-x

2.x<0のとき
 |x|=-xだから、f(x)=x|1+x|
  (1) x≧-1のとき1+x≧0だから、|1+x|=1+x
   ∴f(x)=x(1+x)=x²+x
  (2) x<-1のとき1+x<0だから、|1+x|=-(1+x)=-1-x
   ∴f(x)=x(-1-x)=-x²-x


以上により、

 x<-1のとき、f(x)=-x²-x=-(x+1/2)²+1/4
 -1≦x<0のとき、f(x)=x²+x=(x+1/2)²-1/4
 0≦x≦1のとき、f(x)=-x²+x=-(x-1/2)²+1/4
 1<xのとき、f(x)=x²-x=(x-1/2)-1/4

となって、グラフは下図のとおり。

なので、直線y=kとの交点の数を考えて、

k<-1/4のとき、1個
k=-1/4のとき、2個
-1/4<k<1/4のとき、3個
k=1/4のとき、2個
1/4<kのとき、1個
「実数kに対し、x|1-|x||=kの異な」の回答画像3
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写真撮ってみたけど多分見にくいよなぁ。

「実数kに対し、x|1-|x||=kの異な」の回答画像2
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f(x)=x|1-|x||


f(x)=-f(-x)
f(x)は奇関数であるから、x≧0の場合だけを調べれば十分です。

0≦x≦1のとき
f(x)=x(1-x)=1/4-(x-1/2)^2
1<xのとき
f(x)=x(x -1)(x>1で単調増加)
f(x)=0となるのは x=-1,0,1のときであることに注意して

-1/4<k<1/4のとき 3個
k=±1/4 のとき 2個
k<-1/4 k>1/4のとき 1個
以上はグラフを描けばすぐ分かります。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!
1/4などの場合分けにはどうやって行き着くのでしょうか?0≦x≦1のときと、1<xのグラフからですか?

ごめんなさい、数学本当にダメで…
あと、奇関数とか単調増加とか聞いたことがなくて……

お礼日時:2018/08/03 00:57

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