f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24 の利用

f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
g(x)=x^5+x^4+(1/2)x^3+(1/6)x^2+(1/24)x+1/120
(1)すべのｘについてf(x)>0を示せ。
(2)g(x)=0はただ1つの実数解αをもち、-1<α<0を示せ。
この問題一応解けたのですがあまり腑に落ちません。そこで他に良い解き方がないか教えて下さい！自分の大まかな解法は以下の通りです。
(1)f´(x)＝4x＾3＋3x＾2＋x＋1/6
＝x(4x＾2＋3x＋1)＋1/6
＝4x{(x＋3/8)＾2＋7/64}＋1/6
今{}内が正であることからf´(x)＝0の解は一つでありそれをx＝bと置く。ここで0>b>-1 ……①
またf´(x)は単調増加。
ゆえに示すべき事はf(b)>0と同値である。
f´(b)＝0の式からf(b)を次数下げしていく。
(省略)
f(b)＝－3/4b{(b－1/3)＾2＋1/18}
①よりこれは0より大きい。
(2)g(x)＝xf(x)＋1/120
g´(x)＝f(x)＋xf´(x)
f(x)＝g´(x)－xf´(x)>f(b)>0
g´(x)>xf´(x)＋f(b)
b≧x,x≧0ではxf´(x)≧0よりg´(x)>0
0≧x≧bについて考える。この区間でf´(x)は単調増加、またxは0以下,f´(x)は0以上だから
xf´(x)≧b×f´(0)
よってg´(x)>bf´(x)＋f(b) ……②
ここで②の右辺について(1)のように次数下げ。
(省略)
(②の右辺)＝－3/4b{(b＋1/3)＾2－1/9}
b＜0よりこれは正。
よってg´(x)>0だからg(x)は単調増加。
(以下省略)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/09/06 01:04

(1) だけなら, たとえば

(x^2+x/2)^2 + (x/2+1/6)^2
なんてのを考えるという手もある.

この回答へのお礼

なるほど！この問題ではf(b)を考える必要があるため(2)で詰まってしまいそうですが、新しい視点をありがとうございます！

お礼日時：2018/09/06 06:38

No.2 ベストアンサー 回答者： OTZ-STO 回答日時： 2018/09/07 01:08

NO.1さんの解答は計算ミスしてますね。

でもそれと同じように(2)も解けますよ。おまり面白くはないけど。
(1)
f(x)=x^4+x^3+(1/2)x^2+(1/6)x+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)x^2+(1/6)x+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)(x+1/3)^2-1/36+1/24
=(x^2+x/2)^2+(1/4)(x+1/3)^2+1/72>0

(2)g(x)が単調増加であることを示し、g(-1)<0かつg(0)>0であることを言えば良い。
g'(x)=5x^4+4x^3+(3/2)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2-(4/5)x^2+(3/2)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)x^2+(1/3)x+1/24
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)(x+(5/21))^2-5/(2･3^2･7)+1/(2^3･3)
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)(x+(5/21))^2-20/(2^3･3^2･7)+21/(2^3･3^2･7)
=5(x^2+2x/5)^2+(7/10)(x+(5/21))^2+1/(2^3･3^2･7)>0
よってg(x)は単調増加。

また、
g(-1)=-1+1-1/2+1/6-1/24+1/120
=-1/3-1/30<0
g(0)=1/120
なので、中間値の定理より証明された。

この回答へのお礼

なるほど、(2)に(1)を使わないでも答えはでるんですね。この問題が単調増加であることを示せでないことに不親切さを感じていましたが、この解法が出づらくするためなのかなと勘ぐってしまいます。ありがとうございました。

お礼日時：2018/09/07 08:49

No.3 回答者： 文理活 回答日時： 2018/09/07 07:53

「いかにも」って感じの係数なので, Taylor の定理を使って証明できないか調べてみました.

ものすごく簡単にはならないけれど, うまくいきます.

この回答へのお礼

数学の勉強がそこまで進んでいないのでわからないのですが、怪しい係数はそういったところから来ているのかもしれませんね。ありがとううございます。

お礼日時：2018/09/07 08:52