空間ベクトルについて。

4点O(0,0,0),A(1,2,4),B(4,-1,3),C(-2,1,7)がある。このとき
(1)線分BCをa:1-aに内分する点をDとする。ただし、0<a<1である。このとき
点Dの座標をaを用いて表せ。

(2)点Aを通り、ベクトルn↑＝(-3,1,2)に垂直な平面をαとする。
①平面αと線分BCの交点を求めよ。
②四面体OABCの体積をVとする。四面体OABCは平面αにより2つの立体に分けられ
そのうち点Cを含む立体の体積をV１とする。このとき、V1/Vの値を求めよ。
教えていただけると幸いです。大変恐縮ですが。

質問者からの補足コメント

• 

  (2)からもう少し詳しく教えていただければと思います。大変恐縮ですが。

  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2018/09/15 18:43

No.2 回答者： 20170130 回答日時： 2018/09/14 12:14

(1)

基本的な問題　ベクトルOD=a*ベクトルOC+(1-a)*ベクトルOB

(2)
①
平面αの方程式に(1)で求めた点Dの座標の文字式を代入しaを決定
決定したaで点の座標を計算

②
点Oが平面のどちら側にあるか考えてV1が計算しやすいか、V-V1が計算しやすいかを考える
V1が計算しやすそうなら上の手順と同様にして平面とOCの交点がOCをどのように分割するか計算する

BCの分割比、OCの分割比から体積比を計算する

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2018/09/14 12:12

(1) →BC = →OC - →OB であることは分かりますか？

そして、→BD = a(→BC) と書けることも分かりますか？
そして、Ｄの座標は
　→OD = →OB + →BD
で表わされます。

全部合わせれば
　→OD = →OB + a(→OC - →OB) = (1 - a)→OB + a(→OC)
　　　　= (4(1 - a) - 2a, -(1 - a) + a, 3(1 - a) + 7a)
　　　　= (4 - 6a, 2a - 1, 4a + 3)
です。

(2) 平面α上の点を E=(Ex, Ey, Ez) とすると、→AE = (Ex - 1, Ey - 2, Ez - 4) はベクトル →n＝(-3,1,2)と直交するので
　→n･→AE = 0
つまり
　-3Ex + 3 + Ey - 2 + 2Ez - 8 = 0
→　-3Ex + Ey + 2Ez - 7 = 0　　　　(a)

① 線分 BC 上の点Ｐは、(1) の結果から、任意の実数 k を使って
　→OP = (1 - k)→OB + k(→OC) = (4(1 - k) - 2k, -(1 - k) + k, 3(1 - k) + 7k) = (4 - 6k, 2k - 1, 4k + 3)
です。
これが平面αと交わるときには、(a) を満たすので
　-3(4 - 6k) + (2k - 1) + 2(4k + 3) - 7 = 0
→　28k - 14 = 0
→　k = 1/2
よって、線分 BC と平面αとの交点Ｐは
　→OP = (1, 0, 5)

② 上記①の結果から、平面αは三角形ABCの面積を2分することが分かります。従って、立体の体積の比は三角形ABCを底辺としたときの「高さ」の比になります。
三角錐OABCの辺、頂点と平面αとの交点は、A, P 以外には、辺OBまたはOCとの交点になります。

辺OBと平面αとの交点をQとすると
　→OQ = s(→OB) = (4s, -s, 3s)
と書けるので、これが(a)を満たすのは
　-12s - s + 6s - 7 = 0
→　-7s - 7 = 0
→　s = -1
なのでOBを内分する点ではありません。

一方、辺OCと平面αとの交点をRとすると
　→OR = t(→OC) = (-2t, t, 7t)
と書けるので、これが(a)を満たすのは
　6t + t + 14t - 7 = 0
→　21t - 7 = 0
→　t = 1/3
で、OC を 1/3, 2/3 に内分する点になります。

従って、三角錐CAR の体積は、底面積が三角形ABCの 1/2、高さが三角錐OABC の 2/3 ですから、三角錐OABC の
　(1/2) * (2/3) = 1/3
ということになります。従って
　V1/V = 1/3
です。