放物線y＝x^＋4と直線y＝ｍxが異なる2点Ａ、Ｂで交わっている。mの値が変化する時、線分ＡＢの中点

放物線y＝x^＋4と直線y＝ｍxが異なる2点Ａ、Ｂで交わっている。mの値が変化する時、線分ＡＢの中点の軌道を求めよ。 分かるかた、詳しくお願いします。

No.4 回答者： springside 回答日時： 2018/09/22 19:39

y=x²+4とy=mxを連立させて、x²+4=mx

x²-mx+4=0　※
これが2つの実数解を持つから、判別式D=m²-16≧0
∴m≦-4、4≦m

※の2実数解をα、βとおくと、解と係数の関係により、α+β=mである。

2つの交点は、(α,mα),(β,mβ)だから、その中点は( (α+β)/2, (mα+mβ)/2 )となり、
x=(α+β)/2、y=(mα+mβ)/2とおくと、x=m/2、y=m²/2

すると、m=2xであるから、y=(2x)²/2=2x²であり、これが軌跡の方程式である。

また、m≦-4、4≦mであって、x=m/2だから、x≦-2、2≦xである。

以上により、求める軌跡は、y=2x² (ただし、x≦-2、2≦x)…答

No.3 回答者： konjii 回答日時： 2018/09/19 18:13

放物線y＝x^2＋4=mx⇒ｘ^2-mx+4=0より

ｘ＝１/2(m±√(ｍ^2-16))、ｘが実数になるにはｍ＞４
放物線y＝x^２＋4と直線y＝ｍxはｘ＝１/2(mー√(ｍ^2-16))、
とｘ＝１/2(m＋√(ｍ^2-16))で交差し中点のｘ座標は１/2(√(ｍ^2-16))
この時のｙ座標は１/2(ｍ√(ｍ^2-16))です。
中点の軌道は座標（ｘ、ｙ）＝（１/2(√(ｍ^2-16))、１/2(ｍ√(ｍ^2-16))）上にあります。

No.2 回答者： きたかぜ0909 回答日時： 2018/09/18 18:52

まず、交点の座標を求めるので2つの式を連立して、二次方程式を作り、その解を‪α‬、βと置きます。

そして、交点の座標は(‪α‬、‪α‬^2+4)(β、β^2+4)となり、
その中点が
(‪α/2‬+β/2、‪α‬^2/2+2+β^2+2)
となります。‪α‬+βと‪α‬^2+β^2は対象式なので基本対称式で表すことができ、基本対称式は解と係数との関係からわかります。そうして出てきた座標をX=、Y=、と置いてその2つの式を連立したものからmを無くして下さい。そして、その式の範囲は放物線と直線が接する所から接する所までです。

No.1 回答者： bravehokkaido 回答日時： 2018/09/17 23:48

y=x^2＋4ですか？

^は「乗」を意味する記号で、^2と書けば2乗、^3と書けば3乗です。

問題文的に2乗だとは思いますが、間違えていたら回答が無駄となるのであらかじめ教えてください。