物理を微積で解くとはどういうことですか？ 微分方程式を立てて 積分して 初期条件から積分定数求めて

物理を微積で解くとはどういうことですか？

微分方程式を立てて 積分して 初期条件から積分定数求めて って感じですか？

こんな操作 単振動と交流しかしてないんですが
他に使う時あるんでしょうか…
変数分離して解くような問題など見たことありませんし、力学に関しても加速度などは大抵一定です。

微積で理解してきましたけど微積で解くことがあんまりわかりません。
教えてください。

No.6 ベストアンサー 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/10/07 07:49

No.4 です。

多分，微分方程式を満足する関数が簡単に求められると誤解しておられるのかもしれません。例えば，船や橋や飛行機の材料中の問題は，移動量（変位）ベクトルを u としたときに
　　　（λ+μ) ∇( ∇・u) + μ ∇^2 u = ρ u''
となります。()'' は時間微分です。加速度ですね。λ，μ，ρは材料定数です。この u つまり x,y,z 方向の移動量 u,v,w を求めれば，飛行機が壊れるかどうかが予測できて設計できるわけです。で，この u(x,y,z) はもちろん x 等のべきでもないですし sine, cosine でも exp でも log でもないです。関空の橋に船がぶつかったときのあの橋の壊れた形はこんな関数では表現できないですよね。ですから，上の微分方程式を境界条件と初期条件を用いて u を求めないといけないのです。単に積分定数を決めるっていう問題にはならないのでした。

No.9 回答者： fxq11011 回答日時： 2018/10/07 12:04

加速度自体微分で求めた結果を秒単位に換算して使っているだけです。

No.8 回答者： ikandonomushi 回答日時： 2018/10/07 09:36

微分は瞬間的な数値を算出し、積分はその時間的経過の数値を積算すると考えれば良いのです。

微分は瞬間に於ける変化率で、積分は変化率の時間経過による積算です。物理の単位に時間が入って居れば、全て積分の結果の値で、時間の単位が無ければ、微分値と考えれば良いでしょう。計算式は全て微分、積分の式で表されます。変化率が単純に、一次式や数次式で表せれば、無理に微分や積分を使わないだけです。

No.7 回答者： puyo3155 回答日時： 2018/10/07 08:55

微分方程式を解くとは、未知の関数が、微分を含む等式で表されたとき、もとの関数はなにか？をもとめるっていうことですね。

一方で、物理学は、自然現象のふるまいを、なるべく単純な原理から出発して解明する学問です。
力学で言えば、天体の振る舞いも、ボールの軌道も、車の加速も、みんな同じ原理で、説明できるようになりました。

その根本となる原理が、微分方程式で表される。だから、自然現象の振る舞い（もとの関数）を解明しようとすると、その微分方程式を説かざるを得ない・・・・

ってことかと思います。なぜ、多くの自然現象が微分方程式で表されるのかってことは、この世の仕組みが、そうなっているから・・・としか言いようがないのですが、例えば力学を例にとれば、根本原理がそのまま適用できるのは、局所的な場所で、極小の時間内に起きた、距離や速度の変化だけで、多くのマクロな現象は、それが積み上がって起こっているから・・・・ということでしょうね。その局所的な現象で根本原理を満たすような自然界の振る舞いを積み重ねて、マクロではどう振る舞うのか？を解明することが、数学的には、微分方程式を解くことに該当します。まあ、逆に歴史をたどれば、力学の問題を解きやすくするための、数学的ツールとして、微積分が整備された・・・ってことになるのですが。

質問のような疑問が出るのは、そもそも初級の物理では、簡単に解ける微分方程式しか扱わないので、公式を使って問題を解いていることが、微分方程式を解くことに相当していることも意識できない場合が多いですね。

No.5 回答者： yhr2 回答日時： 2018/10/07 01:29

この世で起こっていることはすべて「時間とともに変化している」ので「時間の関数」です。

そして、各々の時間にどう変化しているのかに相当するものが、「その量を時間で微分したもの」なのです。
なので「どう変化しているのか」は時間による微分で表わされ、いま「ある値」であるものが「過去」にどうであったのか、「将来どうなるのか」を知りたければ、それを時間に沿って積分すればよいのです。

「時間変化」を扱う限り、時間による微分、時間に沿った積分での取り扱いが必須です。

No.4 回答者： han-ka-2 回答日時： 2018/10/06 22:16

他の方が書いておられるように，物理現象を数学モデルにしようとすると，対象とする時空のある微小な時間と微小な領域でその瞬間にどのような変化が起きるかという表現になるのが一般的です。

それが微分方程式になります。もう習っているとは思いますが，偏微分方程式には三種類あります。放物型（熱伝導とか濃度の拡散等です）と，双曲型（ご質問に書いてあるような波動・振動等の動的力学です）および楕円型（これはポテンシャル問題でちょっとわかりにくいですが，例えば熱伝導や波動の定常問題と思ってください）がそれです。これは，線形の場合は基本的にご質問にあるような変数分離で解けますが，それぞれの解の特性・つまりは問題の特性は全く異なります。それはそのうち勉強するでしょう。そして，これを（計算機を使わずに）解くツールにフーリエ級数とかフーリエ変換といったものがあります。こういったアプローチ無しには，物理現象の科学つまり予測は不可能ですよ。力学は波動方程式だったり楕円型の方程式です。例えば，地震が起きたときの地盤の中や嵐の中の飛行機の胴体にどういう抵抗力が生じて壊れないように設計するにはどうしたらいいか？を求めたければ，微分方程式を解かざるを得ません。
　あるいは，多分ご存知ないでしょうが，積分方程式というのもあります。内臓のエコー検査って聞いたことあるでしょう。例えば，赤ちゃんの心臓や手足が動いているのを，お母さんのお腹に当てたセンサーで映像化したものを見たことがあるでしょう。あれは微分方程式ではなく，積分方程式を解いていますよ。今，高校生でしょうか？　大学生？　扱う問題の幅が広くなると，もっと面白い数学と出会えますよ。
　そして，面白いことに電子計算機は微分積分が不得意です。ま，積分はなんとかやれますが。なので，上述の微分方程式や積分方程式を代数方程式（連立方程式って知ってますよね）に変換して解いたりします。ここもまた面白い近代的な応用数学です。興味を持ったのであれば，どんどんいろんな新書や雑誌を読んでみてください。

No.3 回答者： Beshta 回答日時： 2018/10/06 20:38

本来、どんな簡単な力学の問題も全て微分方程式で解かれるのです。

例えば、自由落下についてはどうでしょう。

質量mの質点を原点から、t=0のとき静かに落下させた時、t秒後の質点のy座標y(t)を求めよ。空気抵抗はなし、重力加速度はgとする。

重力は-mgだから、運動方程式は
my’’=-mg
だ。m≠0より、
y’’=-g
である。よって、
y=-gt^2/2+ct+C
(c、Cは積分定数)

y(0)=0
y’(0)=0
より、c=C=0
よって、y(t)=-gt^2/2

No.2 回答者： doc_somday 回答日時： 2018/10/06 19:41

それは不幸な事で、難関国立ですと微積で解かないと解けない問題が出題されます。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2018/10/06 18:41

微分とは変化部分の量を求め、積分とは変化毎に得た値の総量を求める、

と言ってよいと思います。
また、微分とは割り算、積分とは掛け算、とも言えます。
運動でいえば、位置の時間微分は速度、速度の時間微分は加速度、となります。
微分積分の言葉を理解せずとも、理科や物理で使い慣れているはずです。