対数の問題を教えてください。 x > 1 , y > 1 とする. 不等式log[x]y+2log[

対数の問題を教えてください。
x > 1 , y > 1 とする. 不等式log[x]y+2log[y]x > 3 を 満たす点 ( x , y ) の 存在する領域を図示 せよ

No.3 ベストアンサー 回答者： masterkoto 回答日時： 2018/11/06 11:56

log[x]y+2log[y]x

=log[x]y+2(log[x]x/log[x]y)　←←←底をｙからｘに変換：log[y]x=log[x]x/log[x]y
=log[x]y+2(1/log[x]y)
x>1,y>1だから　log[x]y>0　←←←これが抜けると、不完全
　　　　　　　　　　　　　　　　　（例：x=2 y=4ならlog[x]y=2>0,x=9 y=3ならlog[x]y=1/2>0）
より与えられた不等式は
log[x]y+2(1/log[x]y)>3⇔{log[x]y}²+2>3log[x]y　←←←両辺にプラスの数log[x]yを掛けても不等号の向きは変わら
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　ない
ここで、log[x]y=tとおくと不等式は
t²+2>3t
⇔t²-3t+2>0
⇔(t-1)(t-2)>0
となるから
t<1,2<t⇔log[x]y<1または2<log[x]y
⇔log[x]y<log[x]xまたはlog[x]x²<log[x]y　←←←1=log[x]x¹,２＝log[x]x²
底がｘにそろっているので、これらの不等式の真数同士を比較して
y<xまたはx²<y　が導かれる　←←←重要point:底>1のとき　log[a]b<log[a]c⇔0<b<c
（根本的条件を忘れずに　「x > 1 ,y > 1」かつ「y<xまたはx²<y」)
あとはこの不等式が示す領域を図示するだけ・・・画像青の斜線部

No.2 回答者： aco_michy 回答日時： 2018/11/06 07:06

底の変換公式

log[y]x=log[x]x/log[x]y=1/log[x]y
t=log[x]yとおくと、
t+2/t > 3
両辺にtを掛けて
t^2+2>3t
t^2-3t+2>0
t<1,2<t
log[x]y<1,2<log[x]y
log[x]y<log[x]x,2log[x]x<log[x]y
x>1だから
y<x,x^2<y

直線　y=xの下側
放物線 y=x^2の上側
もちろん
直線　x=1の右側
直線　y=1の上側
が条件です。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2018/11/06 01:12

log[x]y とか log[y]x とかって, なんですか?

そしてこの問題のなにがわからないのでしょうか?

この回答へのお礼

そのレベルで答えないでください。

お礼日時：2018/11/06 16:16