直角座標系です 点A(-2,0,1), 点B(0,2,1),点C(1,3,0) 点D(0,4,2)に

直角座標系です

点A(-2,0,1), 点B(0,2,1),点C(1,3,0)
点D(0,4,2)について


点Cを通り直線ABと直交する
直線の方程式を求めよ。

という問題です
解法をご教授のほどよろしくお願いいたします！

No.1 ベストアンサー 回答者： varietyknowledge 回答日時： 2019/01/05 14:13

外積と、3次元における直線の方程式で解けます。

ベクトルp(x1,y1,z1)、ベクトルq(x2,y2,z2) に対して、外積を (y1z2-z1y2,z1x2-x1z2,x1y2-y1x2) と定めます。
外積は、ベクトルpおよびベクトルqと直交（内積が0）します。ベクトルpおよびベクトルqと直交するということはベクトルpq(x2-x1,y2-y1,z2-z1)とも直交します。
外積により算出されたベクトルを法線ベクトルとも言います。

点O(0,0,0)を基準とし、ベクトルA(-2,0,1)とベクトルB(0,2,1)の外積（法線ベクトル）は、

(0*1-1*2, 1*0-(-2*1), (-2*2)-0*0)
=(-2,2,-4)
となります。

直交するか内積で検算すると、

ベクトルA：(-2)*(-2)+0*2+1*(-4)=0
ベクトルB：0*(-2)+2*2+1*(-4)=0
ベクトルAB：(0-(-2))*(-2)+(2-0)*2+(1-1)*(-4)=0

となり、いずれも0となるため直交します。
3次元における直線の方程式は以下の公式で表されます。

(x-x0)/px=(y-y0)/py=(z-z0)/pz

(px,py,pz)：法線ベクトル（外積）
(x0,y0,z0)：直線上の任意の点

点C(1,3,0)を通るとあるので、求める直線の方程式は

(x-1)/(-2)=(y-3)/2=z/(-4)

となります。